Coprimi negli intervalli

Analisi, algebra lineare, topologia, gruppi, anelli, campi, ...
Rispondi
Gottinger95
Messaggi: 481
Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52

Coprimi negli intervalli

Messaggio da Gottinger95 » 24 mag 2014, 19:33

Siano \(n,m,k \in \mathbb{N_0}\). Sia \( \Psi(n,m,k)\) il numero di coprimi con \(n\) nell'intervallo \( [m,m+k]\). Dimostrare che
\[ \Psi(n,m,k) \ge k \left ( 1+\frac{ \varphi(n)}{n}\right) +1- 2^{\omega(n)} \]
dove \(\omega(n) = |\{p \in \mathbb{P}: \ \ p \mid n\}|\) e \( \varphi(n) = |\{a \in \{1, \ldots,n\}: \ \ (a,n)=1\}|\).

P.S: Causa calcoli sbagliati NON provate a farlo. Per \(k=n\) è falso, lo riaggiorno al più presto.
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3969
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: Coprimi negli intervalli

Messaggio da jordan » 27 mag 2014, 17:27

Ok, provatelo ora!
\[ \Psi(n,m,k) > \frac{k+1}{n}\varphi(n) +1- 2^{\omega(n)}. \]


Ps. Ma perchè Matematica non elementare? :(
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Avatar utente
jordan
Messaggi: 3969
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: Coprimi negli intervalli

Messaggio da jordan » 27 mag 2014, 17:38

Poco meglio:

\[\left\lceil \frac{k}{n}\varphi(n)\right\rceil - 2^{\omega(n)}+2\le \Psi(n,m,k) \le \left\lfloor \frac{k+2}{n}\varphi(n)\right\rfloor + 2^{\omega(n)}-2. \]

[E qui, per ogni $n$, esistono infiniti $m,k$ tali che si raggiunge l'uguaglianza..]
The only goal of science is the honor of the human spirit.

Gottinger95
Messaggi: 481
Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52

Re: Coprimi negli intervalli

Messaggio da Gottinger95 » 31 mag 2014, 20:40

Grazie, mi ero perso una costante che aveva fatto casino, niente di che. Viene anche a me così adesso (anche l'altra disuguaglianza)!
L'ho messo in MNE perchè già un'altra volta avevo messo un problema di stime e me lo hanno spostato :D
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

Rispondi

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 4 ospiti