Problema a squadre

[karotto]

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[Gottinger95]

Testo nascosto:

\(f(n) = 100n, \ \ g(n) = 2^{n-1}\): per \(n=12\) abbiamo \(g(n) > f(n), \ \ g(n-1) < f(n-1)\). Perciò la risposta è \(2^{11} - 100 \cdot 12 = 2048 - 1200 = \boxed{ 848}\)

[matpro98]

Hai sbagliato, credo: secondo me, $f(n) = 50n(n+1)$ e $g(n)=2^{n}-1$. Infatti chiede il guadagno totale, non mensile

Edit: piccolo errore di distrazione nella formula...

[karotto]

Hai sbagliato, credo: secondo me, $f(n) = 50n(n-1)$ e $g(n)=2^{n}-1$. Infatti chiede il guadagno totale, non mensile

Esatto

[lucaboss98]

Ma non è $ f(n) = 50n(n+1) $ ?
Se è così:
Allora $ f(14)< g(14) $ e $ f(13)>g(13) $
quindi $ n=14 $
da cui $ g(14) - f(14) = 2^{14} - 1 - 50 \cdot 14 \cdot 15 = 5883 $

[Drago96]

Non è che cambi molto... sono entrambe funzioni crescenti, e anche la loro differenza è definitivamente crescente...
Basta andare un po' ad occhio e a tentativi e trovare un passo base da cui far partire un'eventuale induzione...
Del tipo: $ n=10 $ è troppo piccolo, $ n=20 $ è troppo grande, e in questo intervallo $ f(n) $ sta tra $5000 $ e $20000 $ circa; i candidati sono quindi quelli per cui $2^n$ è circa 8000, 16000, ovvero 13, 14.

[Gottinger95]

Ah, scusate, sbagliai a leggere! Comunque si, l'idea è di andare per "bisezione" per far più veloci possibili. Stimo due valori \(n_s, n_d\) per cui sono certo che
\( H(n_s) = g(n_s) - f(n_s) < 0 < g(n_d) - f(n_d) = H(n_d) \)
e poi vedo che succede in mezzo, ossia se \(H( (n_s+n_d)/2)\) è troppo o troppo poco. In questo modo uno deve fare un numero \(\sim \log(n)\) tentativi invece che \(\sim n\), ma insomma, in questo caso uno ce la fa benissimo anche a occhio!

[matpro98]

Ma non è $ f(n) = 50n(n+1) $

Sì, mi sono confuso XD

[karotto]

Ma non è $ f(n) = 50n(n+1) $ ?
Se è così:
Allora $ f(14)< g(14) $ e $ f(13)>g(13) $
quindi $ n=14 $
da cui $ g(14) - f(14) = 2^{14} - 1 - 50 \cdot 14 \cdot 15 = 5883 $

Se scrivi 2 elevato a n allora è 50(n-1)(n)

[lucaboss98]

Ma non è $ f(n) = 50n(n+1) $ ?
Se è così:
Allora $ f(14)< g(14) $ e $ f(13)>g(13) $
quindi $ n=14 $
da cui $ g(14) - f(14) = 2^{14} - 1 - 50 \cdot 14 \cdot 15 = 5883 $

Se scrivi 2 elevato a n allora è 50(n-1)(n)

No, primo mese:
$ g(1) = 1 = 2^1 - 1 $ e $ f(1) = 100 = 50 \cdot 1 \cdot 2 $
Secondo mese:
$ g(2) = 1+ 2 = 3 = 2^2 - 1 $ e $ f(2) = 100 + 200 = 300 = 50 \cdot 2 \cdot 3 $

In generale
$ g(n) = 1 + 2 + 4 + . . . 2^{n-1} = 2^n - 1 $
$ f(n) = 100 + 200 + . . . + 100n = 100(1+2+ . . . + n) = 50n(n+1) $

[karotto]

Si scusa