Disuguaglianza sui minimi comuni multipli

[Triarii]

Mostrare che per ogni coppia di interi positivi $m>n$ vale la seguente disuguaglianza
$\operatorname {lcm} (m,n)+\operatorname {lcm} (m+1,n+1)>\dfrac {2mn} {\sqrt {m-n}}$
dove $\operatorname {lcm} (x,y)$ è il minimo comune multiplo fra $x$ e $y$

[jordan]

Wah, carino Non è che forse sarebbe meglio in algebra?

[jordan]

Con un metodo simile si puo' mostrare che se $m,n,k$ sono interi positivi tali che $m-n\neq 0$ allora
$$\text{lcm}(m,n)+\text{lcm}(m+1,n+1)+\ldots+\text{lcm}(m+k,n+k)> (k+1)\frac{mn}{\sqrt{|m-n|}}$$

[Gottinger95]

Mmm penso di aver capito più o meno l'idea

Testo nascosto:

\[lcm(m,n) +lcm(m+1, n+1) > mn ( gcd^{-1}(m,n) + gcd^{-1}(m+1,n+1) ) = mn ( gcd^{-1}(m,m-n) + gcd^{-1}(m+1,m-n) ) = mn ( 1/p + 1/q)\]
Visto che \( (p,q) =1\), \(p,q \mid m-n\), abbiamo che \(pq \le m-n\), e \(p+q \ge 2 \sqrt{m-n}\) per AM-GM, perciò
\[lcm(m,n) + lcm(m+1, n+1) > mn \left ( \frac{p+q}{pq} \right ) \ge \frac{2mn}{\sqrt{m-n} } \]

[Triarii]

Bella soluzione! La mia è parecchio più brutta:
Sia $m-n=k$.
Siano inoltre

• $\operatorname {gcd} (n,k)=d$
  $\operatorname {gcd} (n+1,k)=b$
  $n=dt$
  $n+1=be$
  $k=dc=bl$

Vale ovviamente per ipotesi di coprimalità $\operatorname {gcd} (t,c)=\operatorname {gcd} (e,l)=1\Rightarrow \operatorname {gcd}(t,t+c)=\operatorname {gcd}(e,e+l)=1$. (1)
Inoltre poichè $d\mid n$ e $b\mid n+1$, deve valere anche che \operatorname {gcd} (b,d)=1 (vale perchè $n$ e $n+1$ sono coprimi). Entrambi sono fattori di $k$, quindi, essendo fra loro coprimi, deve valere che il loro prodotto $b\dot d\le k$ (2). Infatti se fosse il contrario, $b$ e $d$ dovrebbero condividere un fattore, assurdo.
Dopo queste osservazioni preliminari possiamo sostituire nel LHS dell'espressione iniziale, e utilizzando la (1) per i fattori non comuni all'interno dei minimi comuni multipli otteniamo:
$dt(t+c)+be(e+l)=\dfrac {n(n+k)} {d} +\dfrac {(n+1)(n+1+k)} {b}\ge \dfrac {bn(n+k)} {k}+\dfrac {(n+1)(n+1+k)} {b}>\dfrac {bn(n+k)} {k}+\dfrac {n(n+k)} {b}$
Dove nella prima disuguaglianza abbiamo usato la (2). Il caso più sfigato infatti è quando abbiamo $b$, $d$ più grandi, e quindi fissatone uno, quando è più grande il prodotto.
Moltiplicando ambo i membri della disuguaglianza per k e riutilizzando la (2) otteniamo che $LHS>(b+d)n(n+k)$ e che $RHS=2n(n+k)\sqrt {k}=2(n+k)\sqrt {bd}$
Semplificando abbiamo $(b+d)>2\sqrt {bd}$ , vera per AM-GM. Il segno di uguale con compare perchè spesso abbiamo fatto maggiorazioni larghe, come ad esempio quando abbiamo sostituito a $(n+1)(n+k+1)$ il termine $n(n+k)$ che è sempre minore