Tre punti e una circonferenza
Tre punti e una circonferenza
Sono assegnati tre punti distinti su una circonferenza. Ad ogni mossa è possibile spostare uno qualsiasi dei tre punti, facendogli occupare come nuova posizione il punto medio di uno, a scelta, degli archi di circonferenza determinati dagli altri due punti.
a) Determinare per quali configurazioni iniziali esiste una successione di mosse che li porta alla fine ad essere i vertici di un triangolo isoscele con due angoli minori di 1/2004- esimo di grado.
b) Determinare per quali configurazioni iniziali esiste una successione di mosse che li porta alla fine ad essere i vertici di un triangolo equilatero.
Non so proprio da dove cominciare
a) Determinare per quali configurazioni iniziali esiste una successione di mosse che li porta alla fine ad essere i vertici di un triangolo isoscele con due angoli minori di 1/2004- esimo di grado.
b) Determinare per quali configurazioni iniziali esiste una successione di mosse che li porta alla fine ad essere i vertici di un triangolo equilatero.
Non so proprio da dove cominciare
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Re: Tre punti e una circonferenza
Se non ho interpretato male il problema e il suo quesito (a) , (e se non ho fatto cappelle... )
mi sembra che qualunque posizione iniziale dei 3 punti consenta di arrivare al triangolo isoscele richiesto :
Circa il quesito (b), credo che si possa dare una risposta banale, ma legittima :
mi sembra che qualunque posizione iniziale dei 3 punti consenta di arrivare al triangolo isoscele richiesto :
Testo nascosto:
Testo nascosto:
Ultima modifica di maurizio43 il 29 gen 2014, 10:03, modificato 4 volte in totale.
Re: Tre punti e una circonferenza
Grazie per la risposta! Per quanto riguarda il procedimento b mi hai convinto. Per quanto riguarda il primo passaggio mi perdo nel momento in cui dici che $BA''C' =180°-\frac{A'OC}{4} $maurizio43 ha scritto:Se non ho interpretato male il problema e il suo quesito (a) , (e se non ho fatto cappelle... )
mi sembra che qualunque posizione iniziale dei 3 punti consenta di arrivare al triangolo isoscele richiesto :Circa il quesito (b), credo che si possa dare una risposta banale, ma legittima :Testo nascosto:Testo nascosto:
Come mai l' angolo ${A'OC}$ nel momento in cui è sottratto a 180 viene ancora diviso per 2?
Re: Tre punti e una circonferenza
ma perché dobbiamo per forza muovere quel determinato punto? Esempio: nel caso dei tre punti sui vertici dell esegano regolare invece che spostare il punto centrale potremo spostare uno di quelli lateralimaurizio43 ha scritto:Circa il quesito (b), credo che si possa dare una risposta banale, ma legittima :Testo nascosto:
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Re: Tre punti e una circonferenza
I triangoli $ BA'O $ e $ OA'C $ sono uguali perchè hanno i 3 lati uguali; quindi $ BA'O=OA'C $ ; e poichè $ BA'C=BA'O+OA'C $ , allora $ BA'C=2 OA'C $BorisM ha scritto: Grazie per la risposta! Per quanto riguarda il procedimento b mi hai convinto. Per quanto riguarda il primo passaggio mi perdo nel momento in cui dici che $BA''C' =180°-\frac{A'OC}{4} $
Come mai l' angolo ${A'OC}$ nel momento in cui è sottratto a 180 viene ancora diviso per 2?
Ma $ OA'C $ è angolo alla base ($AC$) del triangolo isoscele omonimo, quindi :$ OA'C = \frac{1}{2}(180°- A'OC) $ , ne consegue che : $ BA'C=2 \frac{1}{2}(180°- A'OC) = 180°- A'OC $
Analoghe considerazioni si possono fare sul triangolo successivo : $ BC'A' $ , solo che al posto di $ A'OC $ ci ritroviamo $ C'OA' $ che è la metà di $ A'OC $ perchè insiste
sull' arco $ A'C' $ che è la metà dell'arco $ A'C $ ; quindi $ BC'A' = 180°- \frac{A'OC}{2} $
Idem per quanto riguarda triangolo $ BA''C' $ , dove l'angoletto $ A''OC' $ si ottiene sottraendo da $180°$ un angolo che insiste su un arco pari a $\frac{1}{4}$ dell'arco $ A'C $, e cosi via...
Giusto ?
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Re: Tre punti e una circonferenza
Se muovessimo quello centrale, il punto dopo la prima mossa si troverebbe sul vertice diametralmente opposto dell'esagono, e quindi formerebbe con gli altri 2Half95 ha scritto:(circa il caso b) : ma perché dobbiamo per forza muovere quel determinato punto? Esempio: nel caso dei tre punti sui vertici dell esegano regolare invece che spostare il punto centrale potremo spostare uno di quelli laterali
un triangolo equilatero ;
se muovessimo uno dei due punti laterali, dopo la prima mossa andrebbe a finire in mezzo agli altri 2 punti e i 3 punti formerebbero un triangolo isoscele con i 2 lati uguali ai lati del dodecagono
Re: Tre punti e una circonferenza
visto che il nostro problema è di cercare le configurazioni iniziali per cui i 3 punti dopo una serie di mosse coincidono con i lati di un triangolo equilatero, non possiamo limitarci ai tuoi due casi magari mi sbaglio o ho capito male il testo ma per fare un esempio:maurizio43 ha scritto:Se muovessimo quello centrale, il punto dopo la prima mossa si troverebbe sul vertice diametralmente opposto dell'esagono, e quindi formerebbe con gli altri 2Half95 ha scritto:(circa il caso b) : ma perché dobbiamo per forza muovere quel determinato punto? Esempio: nel caso dei tre punti sui vertici dell esegano regolare invece che spostare il punto centrale potremo spostare uno di quelli laterali
un triangolo equilatero ;
se muovessimo uno dei due punti laterali, dopo la prima mossa andrebbe a finire in mezzo agli altri 2 punti e i 3 punti formerebbero un triangolo isoscele con i 2 lati uguali ai lati del dodecagono
fissata una circonferenza $C$ di raggio $r$ presi due punti qualsiasi che ritaglino un arco di lunghezza $\frac{2r\pi}{3}$ il terzo punto lo possiamo sistemare a piacere tanto in una mossa sola qualsiasi sia la sua posizione, possiamo ottenere un triangolo equilatero ripeto è solo un esempio perché le configurazioni iniziali possono essere di vari tipi!
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Re: Tre punti e una circonferenza
Esatto. Ma è proprio l'esempio che ho fatto io : infatti prendendo tre vertici consecutivi $A,B,C$ dell' esagono inscritto otteniamo proprio lo scopo di avere i 2 punti esterni che delimitano un arco di $\dfrac{2\pi r}{3} $; e viceversa due punti che delimitano un arco di quella misura sono per forza i vertici di un esagono regolare inscritto.Half95 ha scritto:visto che il nostro problema è di cercare le configurazioni iniziali per cui i 3 punti dopo una serie di mosse coincidono con i lati di un triangolo equilatero, non possiamo limitarci ai tuoi due casi magari mi sbaglio o ho capito male il testo ma per fare un esempio:
fissata una circonferenza $C$ di raggio $r$ presi due punti qualsiasi che ritaglino un arco di lunghezza $\frac{2r\pi}{3}$ il terzo punto lo possiamo sistemare a piacere tanto in una mossa sola qualsiasi sia la sua posizione, possiamo ottenere un triangolo equilatero ripeto è solo un esempio perché le configurazioni iniziali possono essere di vari tipi!
Ma comunque è il punto $ B $ (di mezzo) che dobbiamo spostare, non uno dei due esterni !
Che poi $ B $ sia proprio nel mezzo è solo un fatto estetico , tanto tutti gli altri punti dell'arco interno vanno con 1 mossa a confluire nello stessa posizione ,
centrale rispetto all' arco esterno !
Con una sola mossa la soluzione è solo questa.
Re: Tre punti e una circonferenza
okok adesso ho capito cosa intendevimaurizio43 ha scritto:Esatto. Ma è proprio l'esempio che ho fatto io : infatti prendendo tre vertici consecutivi $A,B,C$ dell' esagono inscritto otteniamo proprio lo scopo di avere i 2 punti esterni che delimitano un arco di $\dfrac{2\pi r}{3} $; e viceversa due punti che delimitano un arco di quella misura sono per forza i vertici di un esagono regolare inscritto.Half95 ha scritto:visto che il nostro problema è di cercare le configurazioni iniziali per cui i 3 punti dopo una serie di mosse coincidono con i lati di un triangolo equilatero, non possiamo limitarci ai tuoi due casi magari mi sbaglio o ho capito male il testo ma per fare un esempio:
fissata una circonferenza $C$ di raggio $r$ presi due punti qualsiasi che ritaglino un arco di lunghezza $\frac{2r\pi}{3}$ il terzo punto lo possiamo sistemare a piacere tanto in una mossa sola qualsiasi sia la sua posizione, possiamo ottenere un triangolo equilatero ripeto è solo un esempio perché le configurazioni iniziali possono essere di vari tipi!
Ma comunque è il punto $ B $ (di mezzo) che dobbiamo spostare, non uno dei due esterni !
Che poi $ B $ sia proprio nel mezzo è solo un fatto estetico , tanto tutti gli altri punti dell'arco interno vanno con 1 mossa a confluire nello stessa posizione ,
centrale rispetto all' arco esterno !
Con una sola mossa la soluzione è solo questa.
Re: Tre punti e una circonferenza
A mio avviso erri nel momento in cui dici che: "al posto di $ A'OC $ ci ritroviamo $ C'OA' $ che è la metà di $ A'OC $ perchè insistemaurizio43 ha scritto:I triangoli $ BA'O $ e $ OA'C $ sono uguali perchè hanno i 3 lati uguali; quindi $ BA'O=OA'C $ ; e poichè $ BA'C=BA'O+OA'C $ , allora $ BA'C=2 OA'C $BorisM ha scritto: Grazie per la risposta! Per quanto riguarda il procedimento b mi hai convinto. Per quanto riguarda il primo passaggio mi perdo nel momento in cui dici che $BA''C' =180°-\frac{A'OC}{4} $
Come mai l' angolo ${A'OC}$ nel momento in cui è sottratto a 180 viene ancora diviso per 2?
Ma $ OA'C $ è angolo alla base ($AC$) del triangolo isoscele omonimo, quindi :$ OA'C = \frac{1}{2}(180°- A'OC) $ , ne consegue che : $ BA'C=2 \frac{1}{2}(180°- A'OC) = 180°- A'OC $
Analoghe considerazioni si possono fare sul triangolo successivo : $ BC'A' $ , solo che al posto di $ A'OC $ ci ritroviamo $ C'OA' $ che è la metà di $ A'OC $ perchè insiste
sull' arco $ A'C' $ che è la metà dell'arco $ A'C $ ; quindi $ BC'A' = 180°- \frac{A'OC}{2} $
Idem per quanto riguarda triangolo $ BA''C' $ , dove l'angoletto $ A''OC' $ si ottiene sottraendo da $180°$ un angolo che insiste su un arco pari a $\frac{1}{4}$ dell'arco $ A'C $, e cosi via...
Giusto ?
sull' arco $ A'C' $ che è la metà dell'arco $ A'C $"
Questo sarebbe vero se il punto $C' $ fosse stato ottenuto spostando il punto $ C $ nel punto medio dell' arco $A'C$ ma noi otteniamo $C' $ spostando $C$ nel punto medio dell' arco $BA'$
Correggimi se sbaglio ma sono ancora alle prime armi
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Re: Tre punti e una circonferenza
Forse non consideri bene la figura :BorisM ha scritto:A mio avviso erri nel momento in cui dici che: "al posto di $ A'OC $ ci ritroviamo $ C'OA' $ che è la metà di $ A'OC $ perchè insiste
sull' arco $ A'C' $ che è la metà dell'arco $ A'C $"
Questo sarebbe vero se il punto $C' $ fosse stato ottenuto spostando il punto $ C $ nel punto medio dell' arco $A'C$ ma noi otteniamo $C' $ spostando $C$ nel punto medio dell' arco $BA'$ Correggimi se sbaglio ma sono ancora alle prime armi
$ C' $ è il punto medio dell'arco $ BA' $ , ma l'arco $ BA' $ è uguale all' arco $ A'C $ . Dunque l'arco $ C'A' $ ha ampiezza pari alla metà non solo dell'arco $ BA' $ , ma anche dell' arco $ A'C $ .
Quindi è confermato che l'angolo alla crf. $ C'OA' $ risulta essere la metà dell' angolo alla crf. $ A'OC $
Comunque ti ringrazio, perchè la tua obiezione mi è servita a rileggere il mio post e ad accorgermi che c'era un errore nella formula degli $n$-esimi angoli [: l'esponente $(n-1)$ della base$ 2 $ era diventato un fattore moltiplicativo di $ 2 $ ... e quindi cambia l' espressione del numero $ n $ di mosse ], anche se comunque tutto il resto della dimostrazione , e le conclusioni sulla assoluta libertà di scegliere i 3 punti rimangono valide .
Ho corretto quel mio post
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Re: Tre punti e una circonferenza
Half95 ha scritto: ..... per fare un esempio:
fissata una circonferenza $C$ di raggio $r$ presi due punti qualsiasi che ritaglino un arco di lunghezza $\frac{2r\pi}{3}$ il terzo punto lo possiamo sistemare a piacere tanto in una mossa sola qualsiasi sia la sua posizione, possiamo ottenere un triangolo equilatero ripeto è solo un esempio perché le configurazioni iniziali possono essere di vari tipi!
Con $2$ mosse vale ovviamente la configurazione (sopra citata) con due punti qualsiasi che ritaglino un arco di lunghezza $\frac{2r\pi}{3}$ , e un terzo punto a piacere lungo l'arco esterno.Maurizio43 ha scritto: .... con una sola mossa la configurazione iniziale è solo questa
Ma anche con $ n $ mosse il vincolo sulla configurazione iniziale è ancora sempre e comunque lo stesso : $\frac{2r\pi}{3}$ tra 2 punti $ A $ e $ B $ e il terzo a piacere sull'arco esterno.
Questa configurazione risulta quindi l'unica configurazione possibile . (E' ovvio che il caso $\frac{4r\pi}{3}$ è sempre il medesimo)
Testo nascosto: