Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

[Draco76]

Non so chi tu sia, però
1- ti stimo fes
2- ma il tuo avatar fa pena
3- ti sparo la faccia [cit.]

Prima di tutto, di ringrazio del tempo che mi hai offerto per rivolgerti esclusivamente a me, procederò dunque a risponderti punto per punto.
Ti ringrazio molto intensamente per la tua alta considerazione di me, che ovviamente accetto con grande gioia e sarei felice di farti sapere che i sentimenti che provo verso di te sono analoghi.
Procedo con l'illustrare che, a mio malgrado, sono triste per la tua negatività riguardo l'immagine che ho scelto come immagine del profilo, perché io provo sentimenti completamente diversi riguardo ad essa.
Il verbo sparare non è transitivo.
Già che ci sono, colgo l'occasione per fare una domanda inerente al problema: hai affermato che suddette figure sono in quantità infinita, ma più precisamente, qual è la cardinalità dell'insieme delle possibili macchie? È numerabile o non numerabile? È $ \aleph_2 $? È magari l'insieme che soddisfa l'ipotesi del continuo, rivoluzionando le teoria di Gödel?

[Gottinger95]

Le macchie di area 1 sono almeno quante i reali (\(2^{\omega}\) ), perchè posso scegliere il perimetro arbitrariamente (a parte per un certo limite inferiore); basta pensare alla striscia lunga e sottile sopra citata.
D'altronde possiamo rappresentare tutte le superfici \(S\) come funzioni \(f\) continue da \([0,2 \pi[\) a \(\mathbb{R}\): per ogni punto \(P \in S\) di coordinate polari \((\alpha, \rho)\), \(f(\alpha)\) vale \(\rho\). In questo modo, per la precisione, contiamo anche più volte una stessa superficie. Visto che tutte le funzioni continue da \(\mathbb{R}\) a \(\mathbb{R}\) sono \(2^{\omega}\), le superfici sono al massimo \(2^{\omega}\).
In definitiva, le superfici di area 1 sono \(2^{\omega}\), quante i reali.

P.S: per quanto riguarda i buchi, se sono numerabili, allora la superficie si può rappresentare con un numero numerabile di funzioni da \([0, 2 \pi[\) a \(\mathbb{R}\); d'altronde \(| \omega \cdot 2^{\omega} | = |2^{\omega} |\), perciò il numero rimane lo stesso.

[Gottinger95]

L'idea di base non è molto ovvia: presupponiamo un assurdo e che k punti a coordinate intere siano coperti dalla nostra figura. Fatta quest'osservazione truccosa, bastano solo calcoli oppure un pizzico di intuizione per arrivare al risultato.

...ma dov'è la dimostrazione? :p

[Drago96]

Uh, non mi pare che ogni sottoinsieme di reali sia una "superficie", cioè se prendo che so punti a coordinate intere ho un sottoinsieme di R2, ma non è una superficie... serve che siano connessi (?) e questo penso riduca di molto il numero di superfici possibili; secondo me sono $\aleph_1 $...

[Gottinger95]

Hai decisamente ragione, anche io stavo pensando che mi serve che siano connesse e con bordo continuo.. correggo subito il post di sopra!

[darkcrystal]

Mi scuso se questo post non sarà utilissimo, ma è solo per dire che vi state probabilmente andando ad infilare in pasticci con i quali è meglio non avere a che fare (almeno, personalmente cerco di starne alla larga)

[MNE mode ON]
1) le vostre ultime domande tendono ad essere un po' mal poste
2) le funzioni da $\mathbb{R}$ in sé sono $\mathfrak{c}^\mathfrak{c}=2^\mathfrak{c}$=cardinalità delle parti di $\mathbb{R}$; le funzioni continue da $\mathbb{R}$ in sé, d'altro canto, sono $\mathfrak{c}$=cardinalità di $\mathbb{R}$ (questo si dimostra guardando l'immagine dei razionali, che fissa tutto)
3) $\aleph_1$ non è uguale a $2^{\aleph_0}$ (o meglio, è una storia lunga e complicata: http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis)
4) qual è la definizione di "superficie" ? Se prendete "(Lebesgue-)misurabile connessa di misura 1", allora ci sono ben $2^\mathfrak{c}$ superfici di area 1 già solo guardando i sottoinsiemi di $[0,1] \times [0,1]$. Se prendete "bordo parametrizzato da una funzione continua" allora dovrebbero essere tante quante i reali, ma non sono sicuro che il ragionamento di Gottinger95, come è scritto, vada bene, perché se c'è un' "ansa" nella superficie non è chiaro che il bordo si possa parametrizzare soltanto come una funzione dell'angolo. D'altro canto, se dite che una superficie "è" il suo bordo, che il bordo è una funzione continua, e che le funzioni continue sono tante quanti i reali...
5) fossi in voi tornerei a concentrarmi sul problema originale
[MNE mode OFF]

[Gottinger95]

Grazie mille, un po' di chiarezza (almeno a me) serviva, mi sentivo di andare un po' alla cieca
Condivido, provate il problema originale che è carino!