Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

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Gottinger95
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Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

Messaggio da Gottinger95 » 20 gen 2014, 20:39

Data una superficie senza buchi di area \(< 1\) nel piano cartesiano, dimostrare che è possibile muoverla in modo che non contenga punti a coordinate intere.
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe

NoAnni
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Re: Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

Messaggio da NoAnni » 20 gen 2014, 22:23

Secondo me si può fare anche con i buchi (...mi pare)
Dato che in questo forum ci sono moltissimi amanti dei buchi, mi sembra scorretto non metterli, non ti pare?

Tornando seri sarebbe interessante vedere qual è il massimo n per cui ogni superficie di area <n si può spostare in modo che non abbia punti neri (ovviamente anche ruotando), ma per il momento non ho molte idee...
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Gottinger95
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Re: Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

Messaggio da Gottinger95 » 20 gen 2014, 23:33

Per i buchi mmm... ero indeciso anch'io, credo che effettivamente funzioni anche con. Per l'altra questione, sicuramente \(n < \pi/2\): è impossibile struccare il cerchio circoscritto a un quadrato 1 x 1 (la rotazione è inutile, e la traslazione pure perchè il cerchio contiene i vettori traslazione da punto a punto a coord. intere). Ma dentro al mio cuore sono convinto che \(n=1\)...
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maurizio43
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Re: Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

Messaggio da maurizio43 » 21 gen 2014, 00:21

Domandine :
- Per punto a coordinate intere intendi che sia ascissa e ordinata del punto sono intere ?
- Per muovere una figura cosa intendi esattamente ? (Se non è solo un posizionamento, quali movimenti, entro quali limiti del piano ? )

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Drago96
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Re: Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

Messaggio da Drago96 » 21 gen 2014, 07:27

A occhio, se fai un quardato di lato 1, in qualunque modo lo sposti contiene un punto a coordinate intere, o no?

@maurizio: un punto è a coordinate intere quando ascissa e ordimata sono numeri interi. Inoltre penso siano valide tutte le isometrie, anche se in realtà basta una traslazione :)
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NoAnni
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Re: Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

Messaggio da NoAnni » 21 gen 2014, 08:56

Drago96 ha scritto:A occhio, se fai un quardato di lato 1, in qualunque modo lo sposti contiene un punto a coordinate intere, o no?

@maurizio: un punto è a coordinate intere quando ascissa e ordimata sono numeri interi. Inoltre penso siano valide tutte le isometrie, anche se in realtà basta una traslazione :)
Beh, puoi ruotarlo in modo che abbia le diagonali parallele agli assi
Con un quadrato di area 2 le cose si fanno più complicate, ma non so se c'è qualcosa in mezzo
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maurizio43
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Re: Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

Messaggio da maurizio43 » 21 gen 2014, 12:10

Non credo di aver capito bene il problema.

Sicuramente il quadrato di massima area che può essere traslato su e giù per il piano senza incontrare punti a coordinate intere è di lato $1-\epsilon$ ;
dove $\epsilon$ è reale e infinitesimo. [Cioè area, al limite, pari a $ 1 $]
E il quadrato di massima area che può giacere sul piano cartesiano senza sovrapporsi a punti a coordinate intere ha il lato pari a $\sqrt 2 -\epsilon$ ;
dove $\epsilon$ idem c.s. . [Cioè inclinazione di 45°e area, al limite, pari a $2$]

Mentre il cerchio di massima area traslabile su e giù per il piano ha raggio pari a $ \dfrac {1}{2} - \epsilon$ [Cioè area, al limite, pari a $ \dfrac{\pi}{4} $]
E il cerchio di massima area che può giacere sul piano cartesiano senza sovrapporsi a punti a coordinate intere ha il raggio pari a $\sqrt 2 -\epsilon$ ;
dove $\epsilon$ idem c.s. . [Cioè area, al limite, pari a $ \dfrac{\pi}{2} $ ]

(Poi è ovvio che, per la pura giacitura sul piano senza sovrapposizione ai punti a coordinate intere, sono immaginabili rettangoli di base 1 e altezza infinita .)

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Re: Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

Messaggio da NoAnni » 21 gen 2014, 12:33

maurizio43 ha scritto:Non credo di aver capito bene il problema.
Chiede di dimostrare che comunque presa una figura piana (brutta a piacere), di area <1 (o se vuoi <n), allora la si può spostare (con traslazioni, rotazioni, forse anche simmetrie se al grande capo piace) in modo che non contenga nessun punto a coordinate intere
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Re: Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

Messaggio da maurizio43 » 21 gen 2014, 17:29

Mi sembra che una corona semicircolare di diametro esterno $(2-\epsilon)$ e raggio interno $( \epsilon )$ ( col solito $\epsilon$ reale, positivo e infinitesimo ) , possa girovagare per il piano cartesiano senza sovrapporsi ai nodi del reticolo quadrato unitario, eseguendo opportune rotazioni di $90°$ attorno al suo centro, nonchè traslazioni orizzontali o verticali, purchè le rotazioni avvengano quando il centro delle crf. (che non appartiene alla corona) coincide con uno dei nodi .
E la sua area, al limite, è pari a $\pi$ .
Quindi qualunque figura di qualunque foggia di area $< 1$ ( o comunque $ < \pi $ ) contenibile nella corona soddisfa la richiesta. Giusto ?

(N.B.: CORRETTO IL LAPSUS CIRCA IL RAGGIO ESTERNO AL POSTO DEL DIAMETRO ESTERNO !)
Ultima modifica di maurizio43 il 21 gen 2014, 20:56, modificato 2 volte in totale.

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Drago96
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Re: Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

Messaggio da Drago96 » 21 gen 2014, 18:32

Uhm, se il raggio esterno è $2-\epsilon$ mi sa che non la possiamo spostare in modo che non contenga punti interi... :?
Il problema però dice che prendendo qualunque figura le si può trovare un posto tranquillo senza punti interi...
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Re: Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

Messaggio da Draco76 » 21 gen 2014, 19:45

Inoltre si può affermare senza perdita di generalità che la figura in questione occupa anche l'esterno del quadrato(o cerchio, a seconda della propria filosofia geometrica riguardo alla perfezione e alla divinizzazione delle figure): infatti con un'opportuna traslazione risulta coperta solo parzialmente da esso.
Una svista comune è quella di intendere:
Drago96 ha scritto:senza punti interi...
Come la presenza di punti in quantità intere o razionali; molte persone, soprattutto i nuovi olimpionici, si bloccano su questo punto riguardo ai punti: il testo chiede punti interi, ciò significa che esistono punti razionali e persino irrazionali? Esiste $ \displaystyle \frac{1}{2} $ punto? Ha senso parlare di punti immaginari? La risposta è complessa e non intendo parlarne adesso, soprattutto con amanti di questo particolare tipo di numeri, quindi per il momento considererò che essa sia un semplice "no".

Un metodo molto carino e soprattutto alla portata di chiunque è quello di scomporre la suddetta figura in figure minori di cui si può esprimere l'area algebricamente in un modo non troppo lungo ($1$ o $2$ pagine a figura); in questo modo si può risolvere l'equazione della posizione stando attenti che nessun punto assuma coordinate intere, ma lascio questo semplice esercizio ai più inesperti.

Sorpassando anche su punti razzisti riguardo la distinzione tra punti neri e bianchi (ovvero: perché i punti bianchi devono formare una piccola figura che non può essere intera, al contrario dei punti bianchi? Perché sono neri e bianchi, e non celesti e arancioni?), mi accontento di fornire un'altra idea truccosa.
L'idea di base non è molto ovvia: presupponiamo un assurdo e che $k$ punti a coordinate intere siano coperti dalla nostra figura. Fatta quest'osservazione truccosa, bastano solo calcoli oppure un pizzico di intuizione per arrivare al risultato.

C'è da notare un'altra cosa, la distinzione tra figura bucata e non. Come già accennato da grandi esperti nel settore, voglio far notare che non è difficile prendere una figura che "ha un buco" e tagliare un'esile striscia di punti verso l'esterno: tecnicamente adesso la superficie non ha buchi, ma in pratica il procedimento risolutivo rimane sempre lo stesso; la probabilità che il punto a coordinate intere cada nei punti imbiancati è molto piccola e non influisce minimamente sull'esito.

Piccola osservazione rIguardo alla superficie $n$: basta prendere il suddetto cerchio di raggio $\sqrt{2}$ e tagliare una cerchio più piccolo concentrico a quello grande. Se il diametro del cerchio piccolino è $<1$, allora ci sono due casi: dentro al cerchio piccolo si possono trovare e non trovare punti. Se non ce sono, allora vale la dimostrazione di prima. Se ce n'è almeno uno, allora ce ne dev'essere uno a distanza $1$, ma questi sono tutti coperti dalla nostra figura.
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IMPORTANTE: firma anche tu la petizione!

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Re: Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

Messaggio da maurizio43 » 21 gen 2014, 20:46

Drago96 ha scritto:Uhm, se il raggio esterno è $2-\epsilon$ mi sa che non la possiamo spostare in modo che non contenga punti interi... :?
Il problema però dice che prendendo qualunque figura le si può trovare un posto tranquillo senza punti interi...
MEGALAPSUS : La corona semicircolare di cui parlavo ha diametro (e non raggio :shock: ) pari a $(2-\epsilon)$ ,e l'area conseguentemente pari a $ \pi $ :shock:
E ovviamente le figure considerate di foggia qualunque interne alla corona devono avere ovviamente area $ < \pi $ , per girovagare sul piano !! :oops:
Passerò inutilmente secoli a indagare sulla incomprensibile natura del lapsus :wink:
Intanto ti ringrazio e correggo il testo originale.
Ultima modifica di maurizio43 il 21 gen 2014, 20:51, modificato 1 volta in totale.

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Re: Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

Messaggio da Drago96 » 21 gen 2014, 20:48

Non so chi tu sia, però
1- ti stimo fes
2- ma il tuo avatar fa pena
3- ti sparo la faccia [cit.]

@maurizio: questo sopra non è ovviamente rivolto a te... e comunque, qualunque sia il raggio, rimane il problema che la semicorona è solo una delle infinite possibili superfici...
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Re: Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

Messaggio da maurizio43 » 21 gen 2014, 20:55

Drago, ti ringrazio della precisazione sull'indirizzo dei tuoi epiteti :wink: (Comunque lo supponevo !) .
Però mi sembra che le figure siano infinite : tutti gli scarabocchi che possiamo immaginare all' interno della corona :)

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Re: Punti neri? No grazie, ho superficie < 1

Messaggio da Drago96 » 21 gen 2014, 21:01

Sì, ma ci sono altre infinite figure, che vanno comunque considerate, che hanno area quanto vuoi, ma non rientrano nella corona... ad esempio, prendi una striscia abbastanza lunga ed abbastanza sottile: avrà area minore a 1, ma non ci sta nella corona (ok, in questo caso è facile vedere che si può spostare bene, ma era per fare un esempio)
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