Siano $a,b,c$ interi non negativi distinti tra loro. Dimostrare che:
$$ (ab+1,bc+1,ac+1) \leq \displaystyle\frac{a+b+c}{3} $$
168. Dalla fredda Russia
Re: 168. Dalla fredda Russia
Non ne sono sicuro, ma ci provo lo stesso...
Poichè a, b, c sono distinti, wlog $a>b>c$
Sia $d=(ab+1, bc+1, ac+1)$. Valgono le seguenti relazioni di congruenza
$\displaystyle \\ ab\equiv -1 (d)
\displaystyle \\ bc\equiv -1 (d)
\displaystyle \\ ac\equiv -1 (d)$
da cui $a\equiv b \equiv c (d)$. (lecito dividere perchè tanto $a, b, c$ sono coprimi con $d$)
Quindi $b=c+nd$ e $a=b+md=c+(m+n)d$ per qualche $m, n$ intero positivo (altrimenti se uno di essi fosse nullo l'ipotesi di $a\ne b\ne c$).
Dunque riscriviamo $\frac {a+b+c} {3}$ come $\frac {3c+(m+2n)d} {3} = c+\frac {(m+2n)d} {3}$
La quantità $(m+2n)d$ tuttavia è maggiore o uguale a 3d, in quanto $m, n$ valgono almeno $1$. Quindi otteniamo $\frac {a+b+c} {3} =c+d\frac {m+2n} {3} \ge c+d\ge d$ che è la tesi.
Il segno di uguale vale se $a=2, b=1, c=0$ (ossia $d=1$, $m=n=1$)
Poichè a, b, c sono distinti, wlog $a>b>c$
Sia $d=(ab+1, bc+1, ac+1)$. Valgono le seguenti relazioni di congruenza
$\displaystyle \\ ab\equiv -1 (d)
\displaystyle \\ bc\equiv -1 (d)
\displaystyle \\ ac\equiv -1 (d)$
da cui $a\equiv b \equiv c (d)$. (lecito dividere perchè tanto $a, b, c$ sono coprimi con $d$)
Quindi $b=c+nd$ e $a=b+md=c+(m+n)d$ per qualche $m, n$ intero positivo (altrimenti se uno di essi fosse nullo l'ipotesi di $a\ne b\ne c$).
Dunque riscriviamo $\frac {a+b+c} {3}$ come $\frac {3c+(m+2n)d} {3} = c+\frac {(m+2n)d} {3}$
La quantità $(m+2n)d$ tuttavia è maggiore o uguale a 3d, in quanto $m, n$ valgono almeno $1$. Quindi otteniamo $\frac {a+b+c} {3} =c+d\frac {m+2n} {3} \ge c+d\ge d$ che è la tesi.
Il segno di uguale vale se $a=2, b=1, c=0$ (ossia $d=1$, $m=n=1$)
Ultima modifica di Triarii il 28 dic 2013, 15:51, modificato 2 volte in totale.
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Re: 168. Dalla fredda Russia
Edit: Non avevo visto il post di Triarii
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Re: 168. Dalla fredda Russia
Bene triarii, a te la parola.
P.S. Quando scrivi le frazioni, ti consiglio di usare \displaystyle davanti a \frac (ovvero \displaystyle\frac ) in modo da non farle venire minuscole!
P.S. Quando scrivi le frazioni, ti consiglio di usare \displaystyle davanti a \frac (ovvero \displaystyle\frac ) in modo da non farle venire minuscole!
Re: 168. Dalla fredda Russia
Ecco come fate tutti a non far venire le frazioni minuscole Grazie del consiglio
Fai conto che prima quando la frazione veniva troppo piccola cambiavo la grandezza del testo, col problema che poi la frazione era di dimensioni normali, mentre il resto era abnorme
Fai conto che prima quando la frazione veniva troppo piccola cambiavo la grandezza del testo, col problema che poi la frazione era di dimensioni normali, mentre il resto era abnorme
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Re: 168. Dalla fredda Russia
E per i pigri basta un \dfrac ...Sir Yussen ha scritto:Quando scrivi le frazioni, ti consiglio di usare \displaystyle davanti a \frac (ovvero \displaystyle\frac )
Glory is like a circle in the water,
Which never ceaseth to enlarge itself,
Till by broad spreading it disperses to naught.
Which never ceaseth to enlarge itself,
Till by broad spreading it disperses to naught.