Introduzione agli Angoli Orientati

[angelo3]

Nel verbalino di correzione del Senior mi era stato consigliato di usare gli Angoli Orientati per far fronte ai problemi di configurazione; volevo chiedervi una dispensa (ho paura che in italiano non esista ) con vari esempi per Imparare ad Usarli
Grazie mille in anticipo!

[Lasker]

Il topic non è stato molto fortunato, ma visto che lo stesso consiglio è stato dato anche a me, rinnovo la richiesta!
Dove potrei imparare notazione, metodi, ecc... per riuscire ad usarli correttamente in un esercizio delle olimpiadi, senza temere di perdere punti? Premetto che di questo argomento non so assolutamente nulla, quindi accetto di tutto, dalle dispense tematiche ai velati consigli .

[EvaristeG]

Allora... prendiamo due rette $\ell_1$ e $\ell_2$ che si intersecano in $O$. Allora l'angolo orientato $\angle (\ell_1,\ell_2)$ è l'angolo misurato in senso antiorario da $\ell_1$ a $\ell_2$ e preso modulo $\pi$. Dunque, tutte le uguaglianze che si scrivono tra angoli orientati vanno intese modulo $\pi$.

Quindi, ad esempio, $\angle(\ell_1,\ell_2)=-\angle(\ell_2,\ell_1)$ (se $\alpha$ è l'angolo da $\ell_1$ a $\ell_2$ in senso antiorario, "l'altro" angolo tra le due rette è $2\pi-\alpha$ e dunque è congruo a $-\alpha$).

Ecco altre proprietà che vi lascio da dimostrare per esercizio (con tutti i casi e tutte le configurazioni, così capite perché è più comodo usare gli angoli orientati!):
1. date tre rette $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ che si intersecano in $O$, si ha
$$\angle(\ell_1,\ell_2)=\angle(\ell_1,\ell_3)+\angle(\ell_3,\ell_2)$$
2. dati tre punti $A$, $B$, $C$ su una circonferenza di centro $O$, si ha
$$2\angle(AB, AC)=\angle(OB, OC)$$
3. dati quattro punti $A$, $B$, $C$, $D$ su una circonferenza, si ha
$$\angle(AB, AC)=\angle(DB, DC)$$
4. date due rette $\ell_1$, $\ell_2$ che si intersecano in $O$, siano $r$, $s$ le due bisettrici degli angoli $\angle(\ell_1,\ell_2)$ e $\angle(\ell_2,\ell_1)$ rispettivamente, allora
$$\angle(\ell_1,r)=\angle(r,\ell_2),\quad \angle(\ell_2,s)=\angle(s,\ell_1)$$
5. (talete) date due rette $\ell_1$, $\ell_2$ e una terza retta $\ell_3$ che le interseca entrambe, allora $\ell_1$ e $\ell_2$ sono parallele se e solo se
$$\angle(\ell_1,\ell_3)=\angle(\ell_2, \ell_3)$$
6. $\ell_1\perp \ell_2\Leftrightarrow \angle(\ell_1,\ell_2)=\angle(\ell_2,\ell_1)$

Inoltre, è bene notare che spesso gli angoli orientati modulo $\pi$ sono comodi da usare in congiunzione con i segmenti orientati.


Problema d'esempio
Date due circonferenze $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ che si intersecano in $A$ e $B$, siano $C$ e $D$ su $\Gamma_1$; siano $E$, $F$ le intersezioni di $CA$ e $DB$ con $\Gamma_2$. Allora $CD\parallel EF$.

Soluzione: Poiché $A$, $B$, $C$, $D$ stanno su una circonferenza, allora $\angle(BA, DF)=\angle(BA, BD)=\angle (CA, CD)=\angle(CE, CD)$; poiché poi $E$, $F$, $A$, $B$ stanno sulla stessa circonferenza, si ha $\angle(BA, DF)=\angle(BA, BF)=\angle(EA, EF)=\angle(CE, EF)=\angle($. Quindi $\angle(CE, CD)=\angle(CE, EF)$ e dunque $CD\parallel EF$.

NB: Gli angoli orientati servono a non interessarsi di come siano messi $C$ ed $E$, $D$ ed $F$ rispetto all'asse di $AB$.

Notazione: Una volta che uno ha dichiarato all'inizio che gli angoli sono orientati, puoi anche scrivere tranquillamente una qualsiasi delle seguenti:
$$\angle(AB, BC),\ \ \angle(ABC),\ \ \angle ABC,\ \ A\widehat{B}C$$
tanto in ciascuna di esse è chiaro in quale ordine vanno prese le due rette.

Problemi da tutti noi a tutti voi
i. Dato un triangolo $ABC$ e dati tre punti $A'$, $B'$, $C'$ su $BC$, $CA$, $AB$, dimostrare che le circonferenze per $AB'C'$, $BA'C'$, $CA', B'$ concorrono.
ii. Date due circonferenze che si intersecano in $A$, $B$, tracciamo una retta per $A$ che interseca le due circonferenze in $C$ e $D$; sia $G$ il punto medio di $CD$ e siano $E$, $F$ le intersezioni di $BG$ con le due circonferenze, dimostrare che $G$ è il punto medio di $EF$.
iii. Date tre circonferenze che passano per uno stesso punto e tali che le loro ulteriori intersezioni a due a due sono allineate, dimostrare che il punto comune a tutte e tre sta sulla circonferenza determinata dai tre centri.
iv. Siano $\Gamma_1,\ldots, \Gamma_4$ circonferenze tali che $\Gamma_i$ e $\Gamma_{i+1}$ si intersecano in $A_i$ e $B_i$ (indici modulo 4). Dimostrare che, se $A_1A_2A_3A_4$ è ciclico, allora $B_1B_2B_3B_4$ è ciclico.

[EvaristeG]

Uhm vi vedo interessatissimi. Per la cronaca, ci butto un altro problema, che in realtà è un utile lemmino (utile a chi e quando, è tutto da vedere...).

Definizione: Una rotomotetia (o similitudine a spirale) di centro $O$ è la composizione di una rotazione ed una omotetia, entrambe di centro $O$.
Ad esempio, nel piano complesso, una rotomotetia attorno all'orgine è semplicemente una mappa del tipo $z\mapsto az$ con $a\in\mathbb{C}$; se $a=\rho e^{i\theta}$, la rotomotetia è la composizione di una omotetia di centro $0$ e ragione $\rho$ e di una rotazione di centro $0$ e angolo $\theta$.

Lemma: Siano $A$, $B$, $C$, $D$ quattro punti nel piano, tali che $AC$ non è parallelo a $BD$; sia $X$ l'intersezione delle rette per $A$, $C$ e $B$, $D$ e sia $O$ l'ulteriore intersezione delle circonferenze circoscritte a $ABX$ e $CDX$. Allora $O$ è il centro dell'unica rotomotetia che porta $A$ in $C$ e $B$ in $D$.

[karlosson_sul_tetto]

iii. Date tre circonferenze che passano per uno stesso punto e tali che le loro ulteriori intersezioni a due a due sono allineate, dimostrare che il punto comune a tutte e tre sta sulla circonferenza determinata dai tre centri.

wut

È un asserzione a doppio significato che non colgo o due punti non sono sempre allineati...?

[EvaristeG]

Classico problema dell'assenza di parentesi nella lingua scritta ... che però può essere risolto, in questo fortunato caso, considerando l'unica disposizione di parentesi che ha senso:

iii. Date tre circonferenze che passano per uno stesso punto e tali che (le loro ulteriori intersezioni a due a due) (sono allineate), dimostrare che il punto comune a tutte e tre sta sulla circonferenza determinata dai tre centri.

Sono le intersezioni a dover essere definite prendendo le circonferenze a due a due, non sono le intersezioni tra loro a dover essere allineate a due a due.
Comunque la presenza di "sono" tra la locuzione "a due a due" e l'aggettivo "allineate" suggeriva che questi ultimi avessero poche probabilità di essere legati.

[karlosson_sul_tetto]

Ok, prima di tutto ringrazio per la risposta (cosa che non so perché mi ricordavo di aver già fatto) e chiedo (per far sembrare che gli utenti siano molto interessati): una scrittura del tipo $ \angle (ABC) $ al posto di $ \angle (AB,BC) $ che effetto fa? Incorrettezza? Peggiore espressione ma accettabile? Indifferenza? Miglioramento? Nausea? Vomito?

[EvaristeG]

Una volta che uno ha dichiarato all'inizio che gli angoli sono orientati, puoi anche scrivere tranquillamente una qualsiasi delle seguenti:
$$\angle(AB, BC),\ \ \angle(ABC),\ \ \angle ABC,\ \ A\widehat{B}C$$
tanto in ciascuna di esse è chiaro in quale ordine vanno prese le due rette.

Già che lo chiedi, lo aggiungo al post precedente.

[scambret]

Vediamo se ho capito l'utilizzo, dimostro il lemma sulla rotomotetia. Potrei scrivere cavolate

$\angle(OA,OB)=\angle(XA,XB)=\angle(XC,XD)=\angle(OC,OD)$ per le varie cose sulla circonferenza.
$\angle(BO,BA)=\angle(XO,XA)=\angle(XO,XC)=\angle(DO,DC)$.

Ma allora i triangoli AOB e COD sono simili e quindi O è il centro della rotomotetia.

[karlosson_sul_tetto]

Vediamo se ho capito l'utilizzo, dimostro il lemma sulla rotomotetia. Potrei scrivere cavolate

$\angle(OA,OB)=\angle(XA,XB)=\angle(XC,XD)=\angle(OC,OD)$ per le varie cose sulla circonferenza.
$\angle(BO,BA)=\angle(XO,XA)=\angle(XO,XC)=\angle(DO,DC)$.

Ma allora i triangoli AOB e COD sono simili e quindi O è il centro della rotomotetia.

Attenzione, si chiede dimostrare anche che sia unica (non è difficile, anzi)

[scambret]

Vabbe, supponiamo che esistano due centri e due rotomotetie, cioè sia $\mathcal{R}_1$ quella con centro $O$ e $\mathcal{R}_2$ quella di centro $Y\neq O$. Allora $\mathcal{R}_2^{-1}(\mathcal{R}_1(A))=A e $\mathcal{R}_2^{-1}(\mathcal{R}_1(B))=B$ che è assurdo.

[karlosson_sul_tetto]

Vabbe, supponiamo che esistano due centri e due rotomotetie, cioè sia $\mathcal{R}_1$ quella con centro $O$ e $\mathcal{R}_2$ quella di centro $Y\neq O$. Allora $\mathcal{R}_2^{-1}(\mathcal{R}_1(A))=A$ e $\mathcal{R}_2^{-1}(\mathcal{R}_1(B))=B$ che è assurdo.

Non vedo come ciò sia un assurdo... io l'ho dimostrato presupponendo che esistesse un punto $P$ da cui si poteva fare per poi accorgersi che $P=O$