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da EvaristeG » 27 dic 2013, 17:33
Allora... prendiamo due rette $\ell_1$ e $\ell_2$ che si intersecano in $O$. Allora l'angolo orientato $\angle (\ell_1,\ell_2)$ è l'angolo misurato in senso antiorario da $\ell_1$ a $\ell_2$ e preso modulo $\pi$. Dunque, tutte le uguaglianze che si scrivono tra angoli orientati vanno intese modulo $\pi$.
Quindi, ad esempio, $\angle(\ell_1,\ell_2)=-\angle(\ell_2,\ell_1)$ (se $\alpha$ è l'angolo da $\ell_1$ a $\ell_2$ in senso antiorario, "l'altro" angolo tra le due rette è $2\pi-\alpha$ e dunque è congruo a $-\alpha$).
Ecco altre proprietà che vi lascio da dimostrare per esercizio (con tutti i casi e tutte le configurazioni, così capite perché è più comodo usare gli angoli orientati!):
1. date tre rette $\ell_1$, $\ell_2$, $\ell_3$ che si intersecano in $O$, si ha
$$\angle(\ell_1,\ell_2)=\angle(\ell_1,\ell_3)+\angle(\ell_3,\ell_2)$$
2. dati tre punti $A$, $B$, $C$ su una circonferenza di centro $O$, si ha
$$2\angle(AB, AC)=\angle(OB, OC)$$
3. dati quattro punti $A$, $B$, $C$, $D$ su una circonferenza, si ha
$$\angle(AB, AC)=\angle(DB, DC)$$
4. date due rette $\ell_1$, $\ell_2$ che si intersecano in $O$, siano $r$, $s$ le due bisettrici degli angoli $\angle(\ell_1,\ell_2)$ e $\angle(\ell_2,\ell_1)$ rispettivamente, allora
$$\angle(\ell_1,r)=\angle(r,\ell_2),\quad \angle(\ell_2,s)=\angle(s,\ell_1)$$
5. (talete) date due rette $\ell_1$, $\ell_2$ e una terza retta $\ell_3$ che le interseca entrambe, allora $\ell_1$ e $\ell_2$ sono parallele se e solo se
$$\angle(\ell_1,\ell_3)=\angle(\ell_2, \ell_3)$$
6. $\ell_1\perp \ell_2\Leftrightarrow \angle(\ell_1,\ell_2)=\angle(\ell_2,\ell_1)$
Inoltre, è bene notare che spesso gli angoli orientati modulo $\pi$ sono comodi da usare in congiunzione con i segmenti orientati.
Problema d'esempio
Date due circonferenze $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$ che si intersecano in $A$ e $B$, siano $C$ e $D$ su $\Gamma_1$; siano $E$, $F$ le intersezioni di $CA$ e $DB$ con $\Gamma_2$. Allora $CD\parallel EF$.
Soluzione: Poiché $A$, $B$, $C$, $D$ stanno su una circonferenza, allora $\angle(BA, DF)=\angle(BA, BD)=\angle (CA, CD)=\angle(CE, CD)$; poiché poi $E$, $F$, $A$, $B$ stanno sulla stessa circonferenza, si ha $\angle(BA, DF)=\angle(BA, BF)=\angle(EA, EF)=\angle(CE, EF)=\angle($. Quindi $\angle(CE, CD)=\angle(CE, EF)$ e dunque $CD\parallel EF$.
NB: Gli angoli orientati servono a non interessarsi di come siano messi $C$ ed $E$, $D$ ed $F$ rispetto all'asse di $AB$.
Notazione: Una volta che uno ha dichiarato all'inizio che gli angoli sono orientati, puoi anche scrivere tranquillamente una qualsiasi delle seguenti:
$$\angle(AB, BC),\ \ \angle(ABC),\ \ \angle ABC,\ \ A\widehat{B}C$$
tanto in ciascuna di esse è chiaro in quale ordine vanno prese le due rette.
Problemi da tutti noi a tutti voi
i. Dato un triangolo $ABC$ e dati tre punti $A'$, $B'$, $C'$ su $BC$, $CA$, $AB$, dimostrare che le circonferenze per $AB'C'$, $BA'C'$, $CA', B'$ concorrono.
ii. Date due circonferenze che si intersecano in $A$, $B$, tracciamo una retta per $A$ che interseca le due circonferenze in $C$ e $D$; sia $G$ il punto medio di $CD$ e siano $E$, $F$ le intersezioni di $BG$ con le due circonferenze, dimostrare che $G$ è il punto medio di $EF$.
iii. Date tre circonferenze che passano per uno stesso punto e tali che le loro ulteriori intersezioni a due a due sono allineate, dimostrare che il punto comune a tutte e tre sta sulla circonferenza determinata dai tre centri.
iv. Siano $\Gamma_1,\ldots, \Gamma_4$ circonferenze tali che $\Gamma_i$ e $\Gamma_{i+1}$ si intersecano in $A_i$ e $B_i$ (indici modulo 4). Dimostrare che, se $A_1A_2A_3A_4$ è ciclico, allora $B_1B_2B_3B_4$ è ciclico.