83. Disuguaglianza triangolare (?)

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
Gottinger95
Messaggi: 486
Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52

83. Disuguaglianza triangolare (?)

Messaggio da Gottinger95 »

Own. Detta \(S\) l'area di un triangolo e \(a,b,c\) i suoi lati, dimostrare che

\(\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S \le \frac{\sqrt{3}}{4} ( abc )^{2/3} \)

Sinceramente il mio metodo è un po' complicato, ma penso ce ne siano di più semplici. Nel complesso però mi pare carina! :D
P.S. Dando uno sguardo agli IMO ho scoperto che è un longlisted problem, il GDR 4 (che non so cosa significhi).
Ultima modifica di Gottinger95 il 04 gen 2014, 01:28, modificato 2 volte in totale.
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: 83. Disuguaglianza triangolare (?)

Messaggio da jordan »

Hai una soluzione migliore di questa?

http://leonettipaolo.wordpress.com/a-tr ... nequality/

Edit: Mi hanno fatto (giustamente) notare che $(a,b,c)=(x+\epsilon,x+\epsilon,2x)$ è un controesempio se $x$ è sufficientemente grande, i.e. c'è qualche errore, da qualche parte.. :roll:
The only goal of science is the honor of the human spirit.
totissimus
Messaggi: 17
Iscritto il: 25 dic 2012, 16:44
Località: Cefalù

Re: 83. Disuguaglianza triangolare (?)

Messaggio da totissimus »

Se prendiamo il triangolo rettangolo \(a=1,b=1,c=\sqrt{2} \) abbiamo:
\( S=\frac{1}{2}\) e \( \frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{2}}{4}>\frac{1}{2}=S\)
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: 83. Disuguaglianza triangolare (?)

Messaggio da jordan »

C'era già una classe di controesempi. Meglio, ci si poteva rendere conto dopo un po' che tutti i triangoli non-equilateri erano controesempi. Difatti e' sbagliato il verso della disuguaglianza, per il resto non ci dovrebbero essere problemi. :roll:
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Avatar utente
Troleito br00tal
Messaggi: 683
Iscritto il: 16 mag 2012, 22:25

Re: 83. Disuguaglianza triangolare (?)

Messaggio da Troleito br00tal »

Io forse ho qualcosa di più carino.

Vale $R=\frac{abc}{4S}$, da cui $\frac{abc}{4R} \le \frac{\sqrt{3}(abc)^{\frac{2}{3}}}{4}$. Usando $R=(\frac{abc}{8 \sin{\alpha} \sin{\beta} \sin{\gamma}})^{\frac{1}{3}}$ otteniamo $\sin{\alpha} \sin{\beta} \sin {\gamma} \le \frac{3 \sqrt{3}}{8}$.
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: 83. Disuguaglianza triangolare (?)

Messaggio da jordan »

Bella, la tua è decisamente migliore!
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: 83. Disuguaglianza triangolare (?)

Messaggio da jordan »

Ho aggiunto anche la tua, evitando di passare per il raggio circoscritto..
Comunque scusa l'ignoranza, che intendi per "smoothing"? Jensen su funzioni convesse?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Gottinger95
Messaggi: 486
Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52

Re: 83. Disuguaglianza triangolare (?)

Messaggio da Gottinger95 »

Si, scusate, avevo sbagliato il verso xD era sera tarda, chiedo venia! Do' il via libera a troileto per la staffetta, e posto la mia:

Un caso particolare di karamata dice che se \(f\) è concava vale
\(\displaystyle f(a) + f(b) + f(c) + f \left (\frac{a+b+c}{3} \right ) \le \frac{4}{3} \left [ f \left (\frac{a+b}{2} \right )+ f \left (\frac{b+c}{2} \right ) +f \left (\frac{c+a}{2} \right ) \right ] \)
Sto da cellulare e non scrivo i passaggi, ma usando \(f(x) = \log \sqrt{x} \) e \(a \leftarrow (a+b-c)/2\)
e cicliche si ottiene, con Erone,
\( \displaystyle S \le (abc)^{2/3} \frac{\sqrt{3}}{4} \)
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
totissimus
Messaggi: 17
Iscritto il: 25 dic 2012, 16:44
Località: Cefalù

Re: 83. Disuguaglianza triangolare (?)

Messaggio da totissimus »

Propongo questa soluzione.
Se il triangolo è rettangolo con cateti \( a,b\) e ipotenusa \( c\) abbiamo:
\(\frac{S}{\left(abc\right)^{\frac{2}{3}}}=\frac{ab}{2\sqrt[3]{a^{2}b^{2}\left(a^{2}+b^{2}\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}}}<\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}<\frac{\sqrt{3}}{4}\)
Ho usato il noto risultato \( x+\frac{1}{x}\geq 2\).
Per un triangolo generico sia \( c \) il lato opposto all'angolo maggiore, \(c_1,c_2 \) le proiezioni degli altri due lati e \( h\) l'altezza relativa e \( S_1,S_2\) le aree dei due triangoli rettangoli.
\(S=S_{1}+S_{2}\leq\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}\left[\left(ahc_{1}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(bhc_{2}\right)^{\frac{2}{3}}\right]\leq\frac{1}{2\sqrt[3]{2}}\left[\left(abc_{1}\right)^{\frac{2}{3}}+\left(abc_{2}\right)^{\frac{2}{3}}\right]=\frac{\left(ab\right)^{\frac{2}{3}}}{2\sqrt[3]{2}}\left[c_{1}^{\frac{2}{3}}+c_{2}^{\frac{2}{3}}\right] \).
Ho applicato le note disuguaglianze \( h<a,h<b\).
La funzione $\frac{\sqrt[2]{x}+1}{\sqrt[3]{x+1}}$ ha un massimo in \( x=1\) come è facile vedere, quindi:
$\sqrt[3]{x}+1\leq\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\sqrt[3]{x+1}$
e anche:
$\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\leq\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\sqrt[3]{x+y}$
pertanto:
$\sqrt[3]{c_{1}^{2}}+\sqrt[3]{c_{2}^{2}}\leq\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\sqrt[3]{c_{1}^{2}+c_{2}^{2}}\leq\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\sqrt[3]{\left(c_{1}+c_{2}\right)^{2}}=\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\sqrt[3]{c^{2}}$
e quindi:
$S\leq\frac{\left(ab\right)^{\frac{2}{3}}}{2\sqrt[3]{2}}\frac{2}{\sqrt[3]{2}}\sqrt[3]{c^{2}}=\frac{\left(abc\right)^{\frac{2}{3}}}{2\sqrt[3]{4}}<\frac{\sqrt{3}}{4}\left(abc\right)^{\frac{2}{3}}$
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: 83. Disuguaglianza triangolare (?)

Messaggio da jordan »

Se che la tua soluzione fosse corretta, avresti dimostrato che la disuguaglianza è stretta per ogni triangolo; ora, prova l'equilatero..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Gottinger95
Messaggi: 486
Iscritto il: 01 lug 2011, 22:52

Re: 83. Disuguaglianza triangolare (?)

Messaggio da Gottinger95 »

Per la staffetta fate vobis, fate la conta per il prossimo!
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: 83. Disuguaglianza triangolare (?)

Messaggio da jordan »

Gottinger95 ha scritto:Do' il via libera a troileto per la staffetta...
Vadi!
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Avatar utente
Drago96
Messaggi: 1147
Iscritto il: 14 mar 2011, 16:57
Località: Provincia di Torino
Contatta:

Re: 83. Disuguaglianza triangolare (?)

Messaggio da Drago96 »

Troleito br00tal ha scritto: $\sin{\alpha} \sin{\beta} \sin {\gamma} \le \frac{3 \sqrt{3}}{8}$.
Viene anche brutalmente con Jensen con $ f (x)=\ln (\sin x) $, la cui derivata seconda è $ f''(x)=-\csc^2x <0 $ :)
@jordan: smoothing è circa dimostrare che $ f (a,b)\le f\left (\frac {a+b}{2},\frac {a+b}{2}\right)$, ovvero che è meglio prendere variabili vicine/uguali che non diverse/lontane... non è che ci sia una grande teoria dietro, quindi risulta anche un po' difficile da formalizzare e spiegare in astratto...
Comunque forse sì in alcuni casi (tutti?) è più o meno Jensen...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Rispondi