"Altri" limiti

[karlosson_sul_tetto]

Se abbiamo una frazione del tipo $ \frac{4+x}{2+x} $, si può dire che con x tendente a 0 essa tende a 2?
E in generale, quando si ha un'espressione ad una sola variabile, se si sostituisce x con il numero a cui tende (e non si ottengono robe con denominatore 0), si può dire che quello è il limite?
Vale la stessa cosa per due variabili tendenti a qualcosa?

Ora, se si ha un'espressione del tipo $ \frac{a+3b}{a+b} $ con a,b tendenti a 0.
Considero solo b tendente a 0, e "sostituisco". Viene fuori $ \frac{a}{a}=1 $. Se faccio la stessa cosa con a tendente a 0, ottengo $ \frac{3b}{b}=3 $. In un caso $ \frac{a+3b}{a+b} $ tende a 1 nell'altro a 3. Come si giustifica? Bisogna vedere come sono tra di loro a e b per giustificare la "tendenza" a una costante o ad un'altra?

[Triarii]

Riguardo alla prima parte, sì. Se sostituendo al posto di $x$ nella tua espressione il valore a cui tende la variabile ottieni forme non indeterminate, allora non ci sono problemi. Se invece sostituendo ottieni roba strana tipo $\infty -\infty$ , $0\cdot \infty$ o cose così, devi manipolare un pochino la tua espressione per ottenere limiti noti (oppure sotto le opportune condizioni puoi usare L'Hopital)

[ma_go]

Riguardo alla prima parte, sì. Se sostituendo al posto di $x$ nella tua espressione il valore a cui tende la variabile ottieni forme non indeterminate, allora non ci sono problemi.

no, no, no, e ancora no. questo in generale è falso, e questa risposta è un esempio lampante del fatto che uno l'analisi deve studiarsela per bene, a tempo debito, e sotto una guida sicura (di un ottimo libro o di un prof) -- niente di personale, Triarii.
posso divertirmi a definire la funzione $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ come
$\displaystyle f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1, & {\rm se}\, x\neq 0\\ 2, & {\rm se}\, x = 0\end{array}\right.$,
e posso divertirmi a considerare il limite $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{f(x-1)}$: $f(-1)\neq 0$, ma il limite che cerco si guarda ben dall'essere $f(0)/f(-1) = 2$, ma è invece 1.
quello che dici vale (quasi) solo per funzioni continue. e non sto qui a spiegare cosa vuol dire "continua", né a dare definizioni approssimative, che rischio solo di far danni.

una buona rule of thumb per decidere se una cosa è vera o non in analisi/topologia è spesso questa: se pensi che una cosa sia vera e non riesci a dimostrarla, è solo perché non hai ancora trovato il controesempio.

un'altra buona rule of thumb è: se stai usando de l'hôpital, ti stai dimenticando di controllare un'ipotesi. quindi, se proprio dovete usarlo, stateci attenti.

infine, per (non) rispondere all'ultima domanda di karlosson: vuol dire che la funzione $\frac{a+b}{a+3b}$ non ha limite in $(0,0)$, stop.

[RyzePHi]

Mi intrometto per cercare di capirci un po' in più sui limiti: quale è allora un modo formalizzato per dire che $ \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{4+x}{2+x}=2 $??
Dovrebbe essere una cosa tipo:
$ \displaystyle \frac{4+x}{2+x}=\frac{2+x}{2+x}+\frac{2}{2+x}=1+\frac{2}{2+x} $ e $ \displaystyle \lim_{x\to 0} x+2=2 $ quindi $ \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{2}{2+x}=1 $???

[ndp15]

Mi intrometto per cercare di capirci un po' in più sui limiti: quale è allora un modo formalizzato per dire che $ \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{4+x}{2+x}=2 $??
Dovrebbe essere una cosa tipo:
$ \displaystyle \frac{4+x}{2+x}=\frac{2+x}{2+x}+\frac{2}{2+x}=1+\frac{2}{2+x} $ e $ \displaystyle \lim_{x\to 0} x+2=2 $ quindi $ \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{2}{2+x}=1 $???

Per formalizzare puoi provare ad applicare la definizione di limite (la conosci?) oppure un argomento di continuità (quello che ma_go non voleva formalizzare): poiché la funzione $ \displaystyle \frac{4+x}{2+x} $ è continua ad esclusione del punto $ -2 $, per calcolare il limite puoi semplicemente sostituire il valore 0 nella funzione. Chiaramente questo metodo NON è un modo per aggirare il sapere cosa sia un limite, perché il concetto di continuità di una funzione si definisce a partire dai limiti.

[Triarii]

Ringrazio ma_go per la correzione e chiedo scusa se ho dato una idea sbagliata su questo concetto. Il fatto è che a scuola 99% delle volte ti rifilano funzioni continue e quindi ogni volta che posso sostituisco brutalmente, senza pormi queste importanti questioni...

[maurizio43]

Mi intrometto per cercare di capirci un po' in più sui limiti: quale è allora un modo formalizzato per dire che $ \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{4+x}{2+x}=2 $??
Dovrebbe essere una cosa tipo:
$ \displaystyle \frac{4+x}{2+x}=\frac{2+x}{2+x}+\frac{2}{2+x}=1+\frac{2}{2+x} $ e $ \displaystyle \lim_{x\to 0} x+2=2 $ quindi $ \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{2}{2+x}=1 $???

Guarda che non stavi andando male , però, arrivato alla conclusione che $ \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{2}{2+x}=1 $ non dovevi prenderla come una contraddizione :
la tua funzione è $ \displaystyle 1+\frac{2}{2+x} $ , e ricordando che il limite di una somma di funzioni è pari alla somma dei limiti delle singole funzioni , il limite della tua funzione è
$ \displaystyle \lim_{x\to 0} (1) $ + $ \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{2}{2+x} $ $ = 1 + 1 = 2 $ .

[ Se poi, per tagliar la testa al toro e andare sul sicuro, volevi formalmente riaggangiarti alla definizione di limite , allora (grosso-modo) potevi fare considerazioni di questo tipo
( o qualcosa del genere):
Comunque scelto un $ \varepsilon > 0 $ , piccolo a piacere, si può determinare un corrispondente $ \delta > 0 $ tale che per ogni x nell' intorno di ampiezza $ \delta $ dello $ 0 $
la mia funzione e il mio limite differiscano per meno di $ \varepsilon $ . Ovvero $ \delta $ tale che $ | \frac{4+x}{2+x} - 2| < \varepsilon $ per $ -\delta \le x \le \delta $ .
Considerando gli estremi di quest'ultimo intervallo , imponiamo $ | \frac{4+\delta}{2+\delta} - 2 | < \varepsilon $ e ricaviamo $ \delta \lt {\frac{2\varepsilon}{1-\varepsilon} } $
Cioè all' interno dell' intervallo $ -\frac{2\varepsilon}{1-\varepsilon }\lt x \lt \frac{2\varepsilon}{1-\varepsilon} $ lo scostamento tra la mia funzione e il valore $ 2 $ è, per l' appunto, minore di $ \varepsilon $ scelto comunque piccolo ,
e dunque $ 2 $ è effettivamente il limite ].

[ma_go]

[...] si può determinare un corrispondente $ \delta > 0 $ tale che per ogni x nell' intorno di ampiezza $ \delta $ dello $0$ [...]

per ogni $x$ diverso da 0, però. il resto mi pare filare.

[maurizio43]

Giustissimo, grazie : il passaggio al limite non richiede che la condizione sia verificata anche nell' $ x $ in cui si cerca il limite .
(Anche se non lo vieta)