Da \"pi in the sky\".

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

Sono un po\' di giorni che non propongo nulla, ed anche ora sono davvero in crisi. Comunque questo è meglio di niente...
 
 Dato un quadrato ABCD, sia P un punto ad esso interno tale che AP=BP e A^PB=B^PA=15°. Dimostrare che CDP è equilatero. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: lordgauss il 2002-04-09 17:19 ]

Rhossili · Messaggio da **Rhossili** » 01 gen 1970, 01:33

mmh...non sara\' molto elegante ma...
 supponiamo che CDP sia equilatero.
 Se R e\' il piede dell\'altezza di APB da P, si ha che PR/PB= sin PB^R.
 il lato del quadrato e\' l;
 PR=l(2-sqrt(3))/2
 PB=sqrt(l^2/4+PR^2)=lsqrt(2-sqrt(3));
 PR/PB=(...semplificando e razionalizzando)
 = sqrt(2-sqrt(3))/2.
 (PR/PB)^2=(2-sqrt(3)/4.
 (sin15)^2=(sqrt(6)-sqrt(2))^2/16=(2-sqrt(3)/4.
 Non e\' una dimostrazione \'purista\', dal nulla, ma...meglio di niente!
 buona primavera
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 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Rhossili il 2002-04-10 18:35 ]

lordgauss · Messaggio da **lordgauss** » 01 gen 1970, 01:33

In effetti non è il massimo... comunque ogni dimostrazione va bene, anche se trigonometrica o analitica.
 
 Comunque il problema resta aperto per i cultori del metodo sintetico...

Rhossili · Messaggio da **Rhossili** » 01 gen 1970, 01:33

allora ecco la soluzione \'diretta dal libro\'...
 forse! ...(vedi allegato)
 ABC e\' equilatero; prolunghiamo l\'altezza da A (AJ) oltre il lato BC per avere AJ =AB.
 Il problema e\' analogo a quello di dimostrare che l\'angolo HB^J=15.
 AB^H=60;
 BA^J=30;
 HB^J=x
 BH^J=y
 
 180-30=150;
 150/2=75=y;
 x+60=y; ==>
 x=75-60=15.
 
 e\' meglio, neh?
 
 <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_biggrin.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Rhossili il 2002-04-10 21:28 ]

sprmnt21 · Messaggio da **sprmnt21** » 01 gen 1970, 01:33

Sia O il vertice del triangolo equilatero di lato AP interno al triangolo APD. Essendo < OAD = 15°, si ha che AOD e\' congruente ad APB. Quindi < ODA = 90°-(60°+15°)=15° e percio\' < DOA= < DOP = 150° e quindi i triangoli DOA e DOP sono uguali. Da questo segue che CP=DP=DA=DC che e\' quello che si doveva provare.
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 2002-04-10 22:02 ]