problemi tratti da kangourou gara 2001

[marto]

1)Lo zio Marco ha pescato alcuni pesci.Dà i tre più grandi al suo cane riducendo il peso totale della sua pesca del 35%.Dà poi i tre più piccoli al suo gatto riducendo il peso rimanente dei 5/13.La famiglia mangia i restanti pesci per cena.Quanti pesci ha catturato lo zio marco??
<BR>2)Sommando numeratore e denominatore ,quando essi siano ridotti ai minimi termini, della seguente espressione
<BR>
<BR>((2^2-1)/2^2)((3^2-1)/3^2)((4^2-1)/4^2)...((2001^2-1)/2001^2)
<BR>
<BR>si ottiene??
<BR>
<BR>

[marto]

vi prego provate a dare delle soluzioni!
<BR>
<BR>
<BR>martos
<BR>

[ReKaio]

il primo è simile ad un esercizio di una gara di febbraio, ma non sono sicuro sia uguale, ora ho troppo sonno per risolverlo<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: ReKaio il 24-06-2003 18:56 ]

[mario86x]

il secondo non si capisce dove ci sono i punti di sopsensione

[marto]

Dove ci sono i puntini intendo che ci sono altri fattori che continuano nella forma ((n^2-1)/n^2) da n=2 fino ad n=2001

[info]

Provo il secondo......il primo quando lo leggerò...forse!
<BR>Il denominatore lo scrivo come (2001!)*(2001!)
<BR>Svolgendo i calcoli del numeratore:
<BR>(2+1)*(2-1)*(3+1)*(3-1)*(4+1)*(4-1)*...........*(2001+1)*(2001-1)
<BR>Cioè:
<BR>3*1*4*2*5*3*......*2002*2000
<BR>Riordinando (che bello utilizzare stò termine figo anche se nn c\'entra nulla)
<BR>1*2*3*...*2000 * 3*4*5*2002
<BR>cioè
<BR>2000!**2002!/2
<BR>Insomma, il tutto viene 2000!*2002! / (2*2001!*2001!)=2002/4002. Sommando numeratore e denominare viene 6004.......chissà se è giusto.....
<BR>InFo

[publiosulpicio]

Per il primo: diciamo n il numero di pesci pescati dallo zio Marco, e supponiamo che pesino 100 (basterà trovare un\'unità di misura adatta, ma tanto non ce ne frega niente dato che tutto è dato in rapporti). Dopo la prima \"sottrazione\" ci rimangono (n-3) pesci che pesano 65 e ogni pesce rimasto pesa meno di 35/3. I tre pesci della seconda \"sottrazione\" pesano 65*5/13 e gli (n-6) pesci che restano pesano 65*8/13 ciascuno pesante tra (65*5/13)/3=65*5/39 e 35/3. Quindi in conclusione possiamo scrivere:
<BR>(n-6)*65*5/39 < = 65*5/13 < = 35/3*(n-6) da cui, semplicemente svolgendo i calcoli, 57/7 < = n < = 9 che implica, essendo n un intero ed essendo 57/7>8 n=9. [moolto ispirato alla soluzione ufficiale della prova di febbraio 1999]
<BR>Per il secondo intanto osserviamo che n^2-1=(n+1)(n-1) e riscriviamo così tutti i numeratori.
<BR>Il numeratore del prodotto quindi vale (3*1)*(4*2)*(5*3)*...*(2002*2000) dove ho messo tra parentesi i termini del tipo ((n+1)*(n-1)). Osserviamo che dunque tutti i termini da 3 a 2000 compiaono due volte a numeratore, cioè compiaiono al quadrato, ma questo accade anche a denominatore, quindi essi si semplificano. Inoltre il 2 compare una volta a numeratore e trasforma il 2^4 a denominatore in 2, stesso discorso per 2001. A questo punto otteniamo 2002/(2*2001)=1001/2001. Se qualcuno ha voglia può scriverlo più formalmente con la produttoria, viene simpatico.

[publiosulpicio]

Nella soluzione che ho dato del primo in realtà quando scrivo pesa meno di leggete pesa al massimo e simmetrico per il pesa di più di

[publiosulpicio]

Va bhè, formalizzo il secondo giusto perché ho voglia:
<BR>prod[n=2..2001]((n^2-1)/n^2)=prod[n=2..2001]((n+1)(n-1)/n^2)=(1*2)/2^2*prod[n=3..2000](n^2/n^2)*(2001*2002)/2001^2=1001/2001

[publiosulpicio]

Ehm... mi accorgo solo ora che chiedeva la somma di numeratore e denominatore, bhè, poco male, 2001+1001=3002.
<BR>Info, guarda che dice ridotti ai minimi termini!! Cmq la tua soluzione è giusta.

[info]

Ho letto anche il primo ma nn garantiso nulla. A prima vista mi viene così:
<BR>I 3 + grandi pesano il 35% del totale.
<BR>I 3 + piccoli pesano il 65/100*5/13=25% del totale.
<BR>Tutti i pesci mangati pesano quindi il 40% del totale.
<BR>Noto che i rimanenti pesci devono pesare meno del 35%/3=11.6% del totale e + del 25%/3=8.3% del totale. Il numero dei pesci è quindi compreso tra 40/8.3=4.8 e 40/11.6=3.4. L\'unico intero compreso tra questi 2 numeri è 4. In totale quindi 4+6=10 pesci. O no??????
<BR>InFo
<BR>

[publiosulpicio]

Il ragionamento è giusto, hai voglia di vedere se ho sbagliato i conti da qualche parte?

[info]

Nn penso che li abbia sbagliati tu, ma aspetta un attimo......

[info]

Boh....perchè hai messo 25 compreso tra il massimo ed il minimo?????Nn dovevi mettere 40?

[publiosulpicio]

ehm... io 25 non l\'ho mai scritto