Punti su un cerchio

[simone256]

Problema non difficile e forse noto che però credo sia all'altezza di possedere un argomento tutto suo

1) Disponendo casualmente 3 punti su una circonferenza, qual è la probabilitá che il centro della circonferenza sia interno al triangolo avente per vertici questi tre punti?

2) Disponendo casualmente 4 punti su una superfice sferica, qual è la probabilitá che il centro della sfera sia interno al tetraedro avente per vertici questi quattro punti?

Non mi fido molto dei miei risultati quindi spero di poter chiarire ogni dubbio vedendo le soluzioni di qualcun altro

[Triarii]

Provo per il punto 1 anche se non sono proprio troppo sicuro...
Consideriamo la circonferenza unitaria, tanto non varia con il raggio la probabilità (nei conti i vari r si semplificano)
Intanto notiamo che dati 2 punti $A$ e $B$, il terzo punto deve trovarsi all'interno dell'arco $A'B'$, dove $A'$ e $B'$ sono rispettivamente i punti di intersezione dei prolungamenti dei raggi passanti da $A$ e $B$ con la circonferenza. Si noti che la lunghezza dell'arco $A'B'$ è pari a quella dell'arco $AB$.
Quindi se l'angolo che sottende $A'B'$ è $\alpha$, la probabilità di prendere un punto appartenente all'arco è $\frac {\alpha } {2\pi }$. Il massimo valore che $\alpha$ assume è $\pi$ . Ora ripetiamo il procedimento, tenendo $A$ fisso e spostando con continuità $B$. La probabilità che $B$ cada nel punto considerato è $\frac {d\alpha } {2\pi }$
Dovremmo ottenere quindi questa formula per la probabilità
$$p=2\int_0^{\pi } \frac {\alpha } {4\pi ^2} d\alpha =\frac {1} {4}$$
Se è corretta provo con il secondo punto, che si dovrebbe far in maniera analoga.

[karlosson_sul_tetto]

. Ora ripetiamo il procedimento, tenendo $A$ fisso e spostando con continuità $B$. La probabilità che $B$ cada nel punto considerato è $\frac {d\alpha } {2\pi }$

Scusami ma non capisco xD.
Prima stai esaminando il punto $C$ fissati $A$ e $B$, e ottieni la probabilità $\frac{\alpha}{2\pi}$. Poi per quale ragione fissando $A$ viene la derivata di sta cosa?

[Lasker]

Rispondo anche io al punto $1)$, visto che la mia "dimostrazione" (tutto fuorché formale e convincente, in verità) arriva alle stesse conclusioni di quella di Triarii...
Immaginiamo, invece che un cerchio, un poligono regolare di $n$ (per comodità prendo $n$ dispari, visto che avevo già fatto questo ragionamento per un altro problema con $n=2013$ ) lati inscritto in una circonferenza. Fissiamo un punto (che possiamo scegliere in $n$ modi) e tracciamo la retta passante per il centro della circonferenza, i due ulteriori punti dovranno essere scelti uno da una parte ed uno dall'altra.
Ora, osservo che per ogni punto a "distanza" $k$ dal punto fissato, ci saranno $k$ possibili scelte di punti sull'altra semicirconferenza in modo che il centro sia compreso nel triangolo. La formula per contare il numero di casi favorevoli sarà dunque:
$$\frac{n}{3}\sum_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} k=\frac{n^3-n}{24}$$
Ricordando di dividere per $3$ in quanto ogni configurazione è stata contata $3$ volte.
I casi possibili, invece, saranno dati da ogni possibile scelta di $3$ punti del poligono, ovvero:
$${n\choose 3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}=\frac{n^3-3n^2+2n}{6}$$
Quindi la probabilità totale sarà:
$$\frac{n^3-n}{4n^3-12n^2+8n}=\frac{n+1}{4(n-2)}$$
Chiaramente, per $n$ tendente ad infinito il poligono tende ad essere un cerchio, e quindi ci si aspetterebbe che:
$$P=\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{4(n-2)}=\frac{1}{4}$$

[Triarii]

@Karlosson
Il mio ragionamento è questo. Fisso A. Poi prendo un certo $B$. La probabilità di cadere in $B$ è $\frac {d\alpha} {2\pi }$, che non è una derivata. $d\alpha$ sta per una lunghezza infinitesima (prossima a 0): infatti la probabilità di cadere su un punto (approssimato come lunghezza infinitesima) è molto bassa. Poi moltiplico questa probabilità per la probabilità di cadere nell'arco buono, che è $\frac {\alpha } {2\pi }$. Ora ripeto questo procedimento "spostando" $B$, sempre tenendo fisso $A$, sommando le probabilità ottenute (e ottenendo così l'integrale). Spero di non aver preso una cantonata!

[Troleito br00tal]

Non servono gli integrali: basta creare le biezioni giuste!

[simone256]

Non servono gli integrali: basta creare le biezioni giuste!

Esattamente, cercate di semplificarvi la vita
Comunque la risposta è corretta... Ma di questo passo difficilmente riuscirete a risolvere il punto due, provate a creare un problema "diverso ma identico"
Attendo le vostre soluzioni anche per vedere se la mia ha senso

[simone256]

Certo triarii di analisi ne sai di certo 100 volte più di me quindi se riesci a calcolare con un integrale anche la probabilitá del punto due tanto meglio così

[Triarii]

Provo per il punto 2 sempre in modo schifoso, ma non sono molto sicuro. (non mi è ancora venuta in mente l'ispirazione divina per questa biiezione).
Analogamente al punto 1, si nota che presi 3 punti a caso sulla sfera, il quarto deve essere preso sulla porzione di superficie sottesa dalla superficie triangolare simmetrica a quella formata dai 3 punti rispetto al cenro della circonferenza (immaginate di tracciare dei piani passanti per ogni coppia di punti e per il centro)
Ora, detto $\omega$ l'angolo in steradianti sotteso (e quindi l'area di tale superficie), la probabilità di prendere il quarto punto in modo che vi appartenga è $\frac {\omega } {4\pi }$. La probabilità di prendere il terzo punto è $\frac {d\omega } {4\pi }$. I primi due punti li ho considerati come fissati (ed è qui il mio più grande dubbio), se non ho toppato i conti viene lo stesso risultato anche facendo variare il secondo...
la formula che otteniamo è
$$2\int_0^{2\pi } \frac {\omega } {16\pi ^2} d\omega =\frac {1} {4}$$

[maurizio43]

Per Triarii .

A mio parere bisognava, a rigore, mettere in conto anche la variabilità del secondo dei tre punti (come hai espresso anche tu con i tuoi dubbi quando lo hai preso fisso) .
Tale variabilità andrebbe messa in conto considerando la probabilità secondo la quale questo secondo punto assume una posizione lungo la circonferenza , e cioè $ \frac{d \gamma}{2 \pi} $ per poi moltiplicarla per la corrispondente probabilità che il quarto punto cada dentro al triangolo sferico individuato dai primi $ 3 $ punti .
( Ovviamente la coordinata angolare $ \gamma $ è l'angolo formato con l'asse $ z $ dal segmento che unisce il nostro punto col centro della sfera )
Peraltro quest' ultima probabilità la hai calcolata costantemente pari a $ \frac{1}{4} $ , ed effettivamente integrando lungo la crf. per ottenere la probabilità complessiva è immediato vedere che il risultato è di nuovo $ = \frac{1}{4} $ .
Quindi mi pare che i tuoi dubbi sulla validità del risultato vadano fugati !

Per cercare un ulteriore riscontro, io ho usato un procedimento interminabile, utilizzando le coordinate sferiche ( $ \rho ; \alpha ; \gamma $ ) e la probabilità, in corrispondenza di ogni terna di punti , data dal rapporto tra l' area del triangolo sferico e l' area della sfera .
Ho avuto come risultato $ P = \frac{1}{8} $ .
Considerato che è stato un calcolo "never-ending" e "pallosissimo" , non ho avuto la forza di ricontrollarlo . [ In fin dei conti non ho utilizzato un procedimento molto diverso dal tuo se non nel diverso uso di angoli e coordinate ... avrò perso un 2 da qualche parte ...] . Mi pare che possa bastare così .

[simone256]

La risposta al punto 2) dovrebbe proprio essere 1/8 anche se il mio procedimento iniziale era totalmente cannato e non riesco a dire nulla sui vostri procedimenti analitici... proverò a darci un'occhiata anora dopo munendomi di carta e penna

[fph]

Provo per il punto 2 sempre in modo schifoso, ma non sono molto sicuro. (non mi è ancora venuta in mente l'ispirazione divina per questa biiezione).
Analogamente al punto 1, si nota che presi 3 punti a caso sulla sfera, il quarto deve essere preso sulla porzione di superficie sottesa dalla superficie triangolare simmetrica a quella formata dai 3 punti rispetto al cenro della circonferenza (immaginate di tracciare dei piani passanti per ogni coppia di punti e per il centro)
Ora, detto $\omega$ l'angolo in steradianti sotteso (e quindi l'area di tale superficie), la probabilità di prendere il quarto punto in modo che vi appartenga è $\frac {\omega } {4\pi }$. La probabilità di prendere il terzo punto è $\frac {d\omega } {4\pi }$. I primi due punti li ho considerati come fissati (ed è qui il mio più grande dubbio), se non ho toppato i conti viene lo stesso risultato anche facendo variare il secondo...
la formula che otteniamo è
$$2\int_0^{2\pi } \frac {\omega } {16\pi ^2} d\omega =\frac {1} {4}$$

Perché integri $d\omega$ da $0$ a $2\pi$ e non su tutta la superficie della sfera? Da dove viene quel due?

[Triarii]

Dunque,l'avevo pensata così: data la simmetria della sfera rispetto ad un piano passante per il centro, la divido in 2 parti uguali. Il valore massimo che assume $\omega$ (l'angolo sotteso dal piano passante per i 3 vertici, o meglio, quello opposto che tanto è congruente) è $2\pi$ . Quindi ho detto integro da $0$ a $2\pi$ ,e poi moltiplico per 2 visto che per simmetria avviene la stessa cosa sull'altra calotta. Spiegato meglio: Prendo 3 punti. La probabilità che il quarto vada bene è $\frac {\omega } {4\pi }$ . Faccio scorrere il terzo punto e poi noto che per simmetria ci sono 2 posizioni che portano allo stesso $\omega$, ma a quanto pare c'è una falla logica...

[fph]

Vediamo se ho capito... tu stai dicendo di aver fissato i primi due punti $A$ e $B$; a questo punto ti chiedi dove puoi scegliere $C$, e lo parametrizzi con l'area dell'angolo "sotteso" dai tre punti nel senso che hai detto tu. Ma a questo punto mi sembra che un po' di cose non tornino: (1) l'ampiezza max dell'angolo è $4\pi$, visto che è un angolo solido (2) l'ampiezza max dipende da dove stanno $A$ e $B$ (3) non mi è per nulla chiaro quale sia la "probabilità infinitesima" di prendere il terzo punto in modo che faccia un angolo esattamente $\omega$, che secondo te è $\frac{d\omega}{4\pi}$.
Può anche darsi che sia semplicemente io a non capire, non prenderla come una stroncatura.

[Triarii]

Dunque, io prendo punti a caso. Poi, analogamente al caso della circonferenza, faccio scorrere il terzo punto (sempre che abbia senso farlo in 3 dimensioni). La probabilità che il terzo punto si trovi in un determinato punto dovrebbe essere la probabilità infinitesima $\frac {d\omega } {4\pi }$. Poi noto che il quarto punto deve stare sulla superficie sferica opposta a quella formata dai 3 punti, e questa dovrebbe essere individuata dalle intersezioni con la sfera dei 3 piani passanti per il centro della sfera e ognuno dei 3 lati del triangolo costituito dai 3 punti iniziali. Chiaramente la nuova superficie (quella sulla quale deve trovarsi il quarto punto per intenderci) ha ampiezza massima $2\pi$ ,perchè la trovo facendo questo procedimento che mi porta dalla parte opposta della sfera (Ok, mi sono spiegato malissimo: in pratica ho rifatto lo stesso procedimento descritto qualche post sopra nel casi in 2 dimensioni). E credo che i limiti di questa ampiezza non dipendano dalla coppia scelta (ma forse il mio errore è proprio qui), in quanto per esempio se prendo il terzo punto lungo il piano passante il centro della sfera e i primi 2 punti, l'ampiezza è $2\pi$, mentre se lo prendo coincidente è 0. Ho moltiplicato per 2 per questo discorso della simmetria. Spero di essere stato più chiaro