Polinomialetrigonometrica e poi la smetto

[NicolasRossi]

Meglio usare \sin invece che sin ... e lo stesso per \cos -- EG
Trovare tutti i polinomi reali non costanti $f(x)$ tali che, per ogni $x$, valga:
$f(\sin x+\cos x)=f(\sin x)+f(\cos x)$

[Triarii]

Ci proviamo!
Dimostreremo che tutte e sole le soluzioni dell'equazione sono i polinomi di primo grado nella forma $a_1x$
Sia $f(x)=a_nx^n+...+a_x+a_0$ con $a_n\ne 0$
Dimostriamo come prima cosa che $a_0=0$
Riscriviamo la tesi come $f(\sin x+\cos x)-f(\sin x)-f(\cos x)=0$.
Dopo questo passaggio, è facile osservare che i termini moltiplicati da $a_1$ si sono semplificati, ed è rimasto a sinistra un $-a_0$
Si noti che, dopo aver raccolto i rispettivi coefficienti $a_i$, si semplificano i vari $\sin ^i(x)$ e $\cos ^i(x)$ (in pratica nel coefficiente $a_n$ mancano i termini elevati alla $n$, e così via...). Si noti anche che ogni coefficiente, escluso $a_0$, moltiplica addendi che hanno in comune sia il fattore $\sin x$ che $\cos x$. Possiamo quindi raccogliere $\sin x\cos x$.
Riscriviamo quindi come
$$\sin x\cos x(a_nk_n+a_{n-1}k_{n-1}+...+a_2k_2)=a_0$$
dove i $k_i$ sono i vari binomi di Newton a cui prima sono stati sottratte le potenze i-esime e poi dove è stato raccolto $\sin x\cos x$. Osserviamo che $k_2=2$ (basta fare a mano il conto).
Si noti che l'equazione deve valere per ogni $x$, quindi vale in particolare per $x=\pi /2$, valore per cui LHS si annulla, e quindi necessariamente si annulla pure $a_0$ (Effettivamente questa cosa poteva essere osservata da subito senza fare questi passaggi contorti...)
Riscriviamo grazie a ciò che abbiamo ottenuto come
$$\sin x\cos x(a_nk_n+a_{n-1}k_{n-1}+...+2a_2)=0$$
Per la legge di annullamento del prodotto, uno dei fattori deve essere nullo. $\sin x\cos x$ si annulla solo per valori particolari di $x$. Per gli altri quindi deve valere
$$a_nk_n+a_{n-1}k_{n-1}+...+2a_2=0\Rightarrow a_nk_n+a_{n-1}k_{n-1}+...+a_3k_3=-2a_2$$
Valutiamo ora l'equazione ottenuta in $b$ tale che $\sin b$ e $\cos b$ siano entrambi positivi.
Ora invece valutiamo l'equazione in $c$ tale che $\sin c=-\sin b$ , mentre $\cos c=\cos b$ (Ed è ben facile vedere che esiste tale numero).
I vari $k_i$ sono i "rimasugli" dei vari binomi di Newton, e sono composti da somme simmetriche in $\sin x$ e $\cos x$. Poichè ogni $k_i$ comprende almeno un termine in cui $\sin x$ è elevato ad una potenza dispari, necessariamente ogni $a$ moltiplica una quantità minore quando è valutato in $c$ rispetto a quando lo è in $b$ (Ci sono oltre che somme delle differenze). Cerchiamo ora di esplicitarci i coefficienti $a_i$ del polinomio.
In entrambi i casi deve valere l'uguaglianza di LHS con $-2a_2$. Ma è impossibile che queste si verifichino contemporaneamente per gli stessi coefficienti $a_i$ poichè nel primo caso ogni $k_i$ è maggiore che nell'altro caso! L'unica possibilità e che tutti i coefficienti $a_i$ siano nulli (per $i>1$, visto che solo questi sono stati considerati negli ultimi passaggi), ma ciò contraddice l'ipotesi iniziale.
Mostrando per bruta sostituzione che ogni polinomio nella forma $f(x)=a_1x$ è di fatto soluzione, terminiamo la dimostrazione.

[NicolasRossi]

Vorrei dare un Hint per risolverla più brevemente, ma -usato l'Hint- sareste troppo vicini alla soluzione... Nessuna altra idea?

[Triarii]

Dunque, se devo essere sincero mi era venuto in mente

Testo nascosto:

di usare una specie di principio di identità dei polinomi confrontando i gradi con cui compaiono i seni e i coseni, ma non penso sia lecito...

Probabilmente l'idea è un'altra

[NicolasRossi]

Sinceramente non so se si possa fare se ho capito cosa hai in mente. :O

Testo nascosto:

è una sostituzione che forse mi è venuta in mente perché si usa molto a scuola in trigonometria (ma davvero?) per risolvere le prime eqauzioni trigonometiche