Si consideri una scacchiera 10 X 10 e in ogni sua casella siano indicati ordinatamente i numeri da $1$ a $100$ incominciando dalla prima casella in alto a sinistra, andando verso destra fino a terminare la prima riga e poi proseguendo con la seconda riga sempre da sinistra a destra, fino
ad arrivare alla centesima casella in basso a destra. Supponiamo ora di cambiare i segni a $50$ di questi numeri con la condizione che in ogni riga e in ogni colonna ci siano tanti numeri positivi quanti negativi. Si dimostri che, dopo tale cambiamento, la somma di tutti i numeri è zero.
Easy 1993
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Easy 1993
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Re: Easy 1993
Provo..
Chiamo $ n $ la somma (in valore assoluto) di tutti i numeri negativi della tabella, $ p $ la somma dei numeri positivi. devo dimostrare che, con la disposizione richiesta, $ n=p $.
Inizio considerando la tabella riga per riga: nell'ultima riga ogni numero può essere scritto come $ 90+x $ , con $ x $ che varia da 1 a 10. Quindi inizio a distribuire il 90 fra $ n $ e $ p $. siccome in ogni riga ci sono 5 numeri negativi e 5 positivi, necessariamente diventa $ 5*90 $ va in $ p $, e sempre $ 5*90 $ in $ n $. Faccio lo stesso ragionamento per le altre righe, riscrivendo ogni numero con $ x + 90,80...10,0 $ (a seconda della riga). Quindi $ p $ e $ n $ diventeranno $ p=n=90*5+80*5+70*5+60*5+50*5+40*5+30*5+20*5+10*5 $ e nella tabella mi resteranno, in ogni riga, i numeri da 1 a 10. Per distribuire questi numeri considero le colonne: della prima colonna 5 numeri andranno in $ p $ e 5 in $ n $ e così per le altre colonne. Siccome i numeri in ogni colonna sono fra loro uguali, $ p $ e $ n $ si manterranno uguali, come volevasi dimostrare! E' giusto?
ps: mi rendo conto della pessima esposizione ( ) , sto imparando ora a scrivere le dimostrazioni, mi potete aiutare?
Chiamo $ n $ la somma (in valore assoluto) di tutti i numeri negativi della tabella, $ p $ la somma dei numeri positivi. devo dimostrare che, con la disposizione richiesta, $ n=p $.
Inizio considerando la tabella riga per riga: nell'ultima riga ogni numero può essere scritto come $ 90+x $ , con $ x $ che varia da 1 a 10. Quindi inizio a distribuire il 90 fra $ n $ e $ p $. siccome in ogni riga ci sono 5 numeri negativi e 5 positivi, necessariamente diventa $ 5*90 $ va in $ p $, e sempre $ 5*90 $ in $ n $. Faccio lo stesso ragionamento per le altre righe, riscrivendo ogni numero con $ x + 90,80...10,0 $ (a seconda della riga). Quindi $ p $ e $ n $ diventeranno $ p=n=90*5+80*5+70*5+60*5+50*5+40*5+30*5+20*5+10*5 $ e nella tabella mi resteranno, in ogni riga, i numeri da 1 a 10. Per distribuire questi numeri considero le colonne: della prima colonna 5 numeri andranno in $ p $ e 5 in $ n $ e così per le altre colonne. Siccome i numeri in ogni colonna sono fra loro uguali, $ p $ e $ n $ si manterranno uguali, come volevasi dimostrare! E' giusto?
ps: mi rendo conto della pessima esposizione ( ) , sto imparando ora a scrivere le dimostrazioni, mi potete aiutare?
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Re: Easy 1993
Ciao Ipazia! Io avevo pensato alla stessa dimostrazione, e avevo in mente due formalizzazioni. Visto che volevi una mano in questa parte, te le propongo tutte e due
Versione non formale:
Possiamo immaginare di scomporre la nostra scacchiera in due scacchiere sovrapposte: una è fatta da 10 righe con i numeri da 1 a 10, l'altra da 10 colonne con i numeri da 0 a 9. Il numero nella scacchiera originaria è naturalmente 10 volte il numero scritto nella seconda più il numero scritto nella prima.
Consideriamo la prima scacchiera. Visto che in ogni colonna devo prendere 5 numeri positivi e 5 negativi, e che in ogni colonna i numeri sono uguali, la somma di tutti gli elementi è 0. Discorso analogo vale per l'altra scacchiera. Perciò la somma dei numeri nella prima scacchiera (che è 0) più 10 volte la somma dei numeri nella seconda scacchiera (che è 0) è 0.
Versione formale:
Sia \(f(i,j)\) il numero scritto nella casella \((i,j)\) con il segno che abbiamo scelto, con centro di riferimento nel vertice in alto a sinistra della scacchiera. Vale \(f(i,j) = 10j+i+1\).
Siano:
1. \(a_i\): la somma di tutte le coordinate \(j\) (cambiate di segno se il numero nella casella \((i,j)\) è cambiato di segno) alla riga \(i\);
2. \(b_j\): la somma di tutte le coordinate \(i\) (cambiate di segno bla bla) alla colonna \(j\);
Facendo un double-counting su righe e colonne (ricordando che in ogni colonna metà sono cambiati di segno) abbiamo che
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}{a_i} = \sum_{j=1}^{2n}{ nj -nj} = 0\)
E ugualmente
\(\displaystyle \sum_{j=1}^{2n}{b_j} = \sum_{i=1}^{2n}{ nj -nj} = 0\)
Perciò
\(\displaystyle \sum_{0 \leq i,j \leq 2n-1}{f(i,j)} = \sum_{i=1}^{2n}{a_i} + 10 \sum_{j=1}^{2n}{b_j} = 0\)
I termini noti (cioè 1) delle \(f\) non vanno considerati perchè metà erano positivi, metà erano negativi, quindi si semplificano.
-----------------------------------
Diciamo che con questa versione si capisce facilmente che l'unica cosa importante era la configurazione dei + e dei - e che il numero fosse una combinazione lineare delle coordinate. Perciò non importa nè che fosse \(2n = 10\), nè che le dimensioni della scacchiera fossero 2 (chi ci impedisce di ripetere un ragionamento simile su tante dimensioni), nè che \(f(i,j) = 10j+i+1\) (e non per esempio \(f(i,j) = 1986 i + 1990 j +2002\), le date di nascita delle mie sorelle).
Spero di essere stato d'aiuto!
-----------------------------------
Nota, che puoi anche non leggere e sono solo delir..ehm generalizzazioni del problema.
Ti dirò di più: diciamo che nel problema abbiamo assegnato alle caselle i coefficienti \(+1\) e \(-1\) in modo che in ogni riga e in ogni colonna ci fossero lo stesso numero di +1 e -1; ma quello che abbiamo effettivamente usato nel double counting era che la somma dei coefficienti assegnati in una certa riga o in una certa colonna fosse 0! Quindi si potrebbe formulare il problema in termini più generali così:
Siano \(a_1, \ldots, a_{k+1} \in \mathbb{R}\) assegnati. Consideriamo un ipercubo \(2n\) x \(\ldots\) x \(2n\) di dimensione \(k\), che chiamiamo \(S\) (si dirà così? boh!).
Ad ogni casella \(X = (x_1, \ldots, x_k)\) con \(X \in S\) assegniamo due numeri:
1. \(f(X) = a_1x_1 + \ldots + a_k x_k+a_{k+1}\);
2. \(g(X)\) che per adesso è misterioso.
Sappiamo che, fissati \(k-1\) numeri \(y_1, \ldots, y_{k-1}\), si ha \(\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}{g(y_1, \ldots, y_{k-1}, i)} = 0\) (non so come scrivere che si possono fissare qualsiasi \(k-1\) numeri nell'argomento, non per forza i primi \(k-1\), ma insomma il succo è quello).
Dimostrare che
\(\displaystyle \sum_{X \in S}{f(X)g(X)} = 0\)
Questo è un po' meno intuitivo del problema originale, ma la dimostrazione è identica a quella che ho scritto, solo con qualche lettera in più negli argomenti. Per un'ulteriore generalizzazione, in cui non usiamo il fatto che \(S\) è un ipercubo, ho postato il problema qui nella sezione di combinatoria
In definitiva: una dimostrazione pulita dà modo di capire più in profondità un problema, i.e. cosa serve e cosa non serve.
Versione non formale:
Possiamo immaginare di scomporre la nostra scacchiera in due scacchiere sovrapposte: una è fatta da 10 righe con i numeri da 1 a 10, l'altra da 10 colonne con i numeri da 0 a 9. Il numero nella scacchiera originaria è naturalmente 10 volte il numero scritto nella seconda più il numero scritto nella prima.
Consideriamo la prima scacchiera. Visto che in ogni colonna devo prendere 5 numeri positivi e 5 negativi, e che in ogni colonna i numeri sono uguali, la somma di tutti gli elementi è 0. Discorso analogo vale per l'altra scacchiera. Perciò la somma dei numeri nella prima scacchiera (che è 0) più 10 volte la somma dei numeri nella seconda scacchiera (che è 0) è 0.
Versione formale:
Sia \(f(i,j)\) il numero scritto nella casella \((i,j)\) con il segno che abbiamo scelto, con centro di riferimento nel vertice in alto a sinistra della scacchiera. Vale \(f(i,j) = 10j+i+1\).
Siano:
1. \(a_i\): la somma di tutte le coordinate \(j\) (cambiate di segno se il numero nella casella \((i,j)\) è cambiato di segno) alla riga \(i\);
2. \(b_j\): la somma di tutte le coordinate \(i\) (cambiate di segno bla bla) alla colonna \(j\);
Facendo un double-counting su righe e colonne (ricordando che in ogni colonna metà sono cambiati di segno) abbiamo che
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}{a_i} = \sum_{j=1}^{2n}{ nj -nj} = 0\)
E ugualmente
\(\displaystyle \sum_{j=1}^{2n}{b_j} = \sum_{i=1}^{2n}{ nj -nj} = 0\)
Perciò
\(\displaystyle \sum_{0 \leq i,j \leq 2n-1}{f(i,j)} = \sum_{i=1}^{2n}{a_i} + 10 \sum_{j=1}^{2n}{b_j} = 0\)
I termini noti (cioè 1) delle \(f\) non vanno considerati perchè metà erano positivi, metà erano negativi, quindi si semplificano.
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Diciamo che con questa versione si capisce facilmente che l'unica cosa importante era la configurazione dei + e dei - e che il numero fosse una combinazione lineare delle coordinate. Perciò non importa nè che fosse \(2n = 10\), nè che le dimensioni della scacchiera fossero 2 (chi ci impedisce di ripetere un ragionamento simile su tante dimensioni), nè che \(f(i,j) = 10j+i+1\) (e non per esempio \(f(i,j) = 1986 i + 1990 j +2002\), le date di nascita delle mie sorelle).
Spero di essere stato d'aiuto!
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Nota, che puoi anche non leggere e sono solo delir..ehm generalizzazioni del problema.
Ti dirò di più: diciamo che nel problema abbiamo assegnato alle caselle i coefficienti \(+1\) e \(-1\) in modo che in ogni riga e in ogni colonna ci fossero lo stesso numero di +1 e -1; ma quello che abbiamo effettivamente usato nel double counting era che la somma dei coefficienti assegnati in una certa riga o in una certa colonna fosse 0! Quindi si potrebbe formulare il problema in termini più generali così:
Siano \(a_1, \ldots, a_{k+1} \in \mathbb{R}\) assegnati. Consideriamo un ipercubo \(2n\) x \(\ldots\) x \(2n\) di dimensione \(k\), che chiamiamo \(S\) (si dirà così? boh!).
Ad ogni casella \(X = (x_1, \ldots, x_k)\) con \(X \in S\) assegniamo due numeri:
1. \(f(X) = a_1x_1 + \ldots + a_k x_k+a_{k+1}\);
2. \(g(X)\) che per adesso è misterioso.
Sappiamo che, fissati \(k-1\) numeri \(y_1, \ldots, y_{k-1}\), si ha \(\displaystyle \sum_{i=1}^{2n}{g(y_1, \ldots, y_{k-1}, i)} = 0\) (non so come scrivere che si possono fissare qualsiasi \(k-1\) numeri nell'argomento, non per forza i primi \(k-1\), ma insomma il succo è quello).
Dimostrare che
\(\displaystyle \sum_{X \in S}{f(X)g(X)} = 0\)
Questo è un po' meno intuitivo del problema originale, ma la dimostrazione è identica a quella che ho scritto, solo con qualche lettera in più negli argomenti. Per un'ulteriore generalizzazione, in cui non usiamo il fatto che \(S\) è un ipercubo, ho postato il problema qui nella sezione di combinatoria
In definitiva: una dimostrazione pulita dà modo di capire più in profondità un problema, i.e. cosa serve e cosa non serve.
\( \displaystyle \sigma(A,G) \ \ = \sum_{Y \in \mathscr{P}(A) } \dot{\chi_{|G|} } (Y) \) bum babe
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Re: Easy 1993
Esatto. In pratica posso sostituire ad ogni numero contenuto in una casella la sua cifra dell'unità. Sommo lungo le colonne e ho la tesi.
Ringrazio Gottinger per la generalizzazione... Domani ci do un occhiata
Ringrazio Gottinger per la generalizzazione... Domani ci do un occhiata
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Re: Easy 1993
Bene, bel problemino!
@Gottinger95 : grazie mille per la dimostrazione formale! è proprio ciò che dovrei imparare a fare interessante anche che il ragionamento si possa ripetere anche su più dimensioni... solo con qualche aggiustatina!
@Gottinger95 : grazie mille per la dimostrazione formale! è proprio ciò che dovrei imparare a fare interessante anche che il ragionamento si possa ripetere anche su più dimensioni... solo con qualche aggiustatina!
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Re: Easy 1993
In realtà quello che hai scritto andava praticamente bene, come dimostrazione. Al più, per scriverlo allo stesso modo, ma più comprensibile, potevi iniziare dalle unità (i numeri piccoli sono più facili!)_Ipazia_ ha scritto:Provo..
...
ps: mi rendo conto della pessima esposizione ( ) , sto imparando ora a scrivere le dimostrazioni, mi potete aiutare?
Tipo: se sommo i numeri su una colonna, questi avranno tutti la stessa cifra delle unità e metà di loro col segno più, metà col segno meno, quindi nella somma si cancelleranno e dunque posso sostituire tutte le cifre dell'unità con $0$ senza cambiare al somma della singola colonna; se lo faccio in ogni colonna, mi viene un quadrato pieno di multipli di 10 e dunque posso dividere tutto per 10. Ora ho un quadrato che ha tutti $\pm0$ sulla prima riga, tutti $\pm1$ sulla seconda riga fino a tutti $\pm9$ sulla decima riga, ancora con la regola che compaiono $5$ più e $5$ meno su ogni riga. Per lo stesso ragionamento di prima, la somma di ogni riga è $0$ e dunque la somma tutti gli elementi è $0$. Ma allora in quella originale la somma è $10\cdot 0=0$.
Re: Easy 1993
Capito, grazie per il consiglio!EvaristeG ha scritto: In realtà quello che hai scritto andava praticamente bene, come dimostrazione. Al più, per scriverlo allo stesso modo, ma più comprensibile, potevi iniziare dalle unità (i numeri piccoli sono più facili!)
Tipo: se sommo i numeri su una colonna, questi avranno tutti la stessa cifra delle unità e metà di loro col segno più, metà col segno meno, quindi nella somma si cancelleranno e dunque posso sostituire tutte le cifre dell'unità con $0$ senza cambiare al somma della singola colonna; se lo faccio in ogni colonna, mi viene un quadrato pieno di multipli di 10 e dunque posso dividere tutto per 10. Ora ho un quadrato che ha tutti $\pm0$ sulla prima riga, tutti $\pm1$ sulla seconda riga fino a tutti $\pm9$ sulla decima riga, ancora con la regola che compaiono $5$ più e $5$ meno su ogni riga. Per lo stesso ragionamento di prima, la somma di ogni riga è $0$ e dunque la somma tutti gli elementi è $0$. Ma allora in quella originale la somma è $10\cdot 0=0$.
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