I due diagrammi rappresentati in figura sono composti da un ingresso $(I)$, due uscite $(U)$ e da un certo numero di deviatori $(d)$.
Una pallina viene introdotta nell'ingresso. La pallina segue la direzione delle frecce. Qunado la pallina entra in un deviatore continua il tragitto seguendo una delle due frecce uscenti, con uguale probabilità
Testo nascosto:
PaInT P0w3r!
1) Inserendo la pallina nell'ingresso $I_1$ qual è la probabilità che esca da $U_1$?
2) Inserendo la pallina nell'ingresso $I_2$ qual è la probabilità che esca da $U_3$?
Io ho fatto così: (disegno uno)
Se inseriamo una pallina da $I_1$ abbiamo $P(U_1) = \frac{1}{4}$ e $P(d_1)$ =\frac{1}{4}, ma se la pallina torna a $d_1$ abbiamo ancora $P(U_1)_2 = \frac{1}{4*4}$
Si ha quindi una serie geometrica di ragione $q= \frac{1}{4}$ al cui somma vale:
$S = \frac{1}{4} * \frac{1- (\frac{1}{4})^{n+1}} {1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} * \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{4} * \frac{4}{3} = \frac{1}{3}$
La probabilità che esca da $U_1$ è quindi: $P(U_1) = \frac{1}{3}$
Per il disegno due si ha:
$P(U_3) = \frac{1}{4}, P(d_3)_s = \frac{1}{4}, P(d_3)_d = \frac{1}{8}$
Per s intendo da $d_4$ e per d da $d_5$
Per $P(d_3)_s$ si può applicare lo stesso ragionamento precedente, per $P(d_3)_d$ si ha sempre una probabilità di $\frac{1}{4}$ che la pallina esca da $U_3$ e quindi si hanno due serie geometriche di ragione $q=\frac{1}{4}$
Quindi:
$P(U_3) =\frac{1}{4} * \frac{1- (\frac{1}{4})^{n+1}} {1-\frac{1}{4}} + \frac{1}{32} * \frac{1- (\frac{1}{4})^{n+1}} {1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{8} = \frac{9}{24}$
Della prima sono un po' più sicuro, della seconda un po' meno (troppi deviatori!)
Più o meno lo stesso metodo, però con qualche accorgimento non era ingarbugliato come sembrava a prima vista.
Infatti il secondo grafico.....
Testo nascosto:
può essere scomposto in questo modo:
la parte formata da $d_3$, $d_4$, $U_3$ e $d_5$ si comporta come la parte formata da $d_1$, $d_2$, $U_1$, $U_2$ (associando nell'ordine i rispettivi punti simili).
Mentre la parte $d_5$, $d_6$, $d_3$, $U_4$ si comporta come (rispettivamente) $d_1$, $d_2$, $U_1$, $U_2$
$ \frac {1} {3} $ ?
Ho considerato prima la probabilità di tornare a $ d_3 $ partendo da $ d_5 $ (dovrebbe essere $ \frac {1} {3} $ usando un ragionamento analogo a quello usato nella prima parte), poi quella di vincere partendo da $ d_4 $ (dovrebbe essere $ \frac {2} {3} $ ). Poi ho moltiplicato queste probabilità per un mezzo e sommate assieme, dandomi proprio $ \frac {1} {2} $ . Ho il dubbio tuttavia che con questo metodo stia trascurando le "strade" che passano sia per l'anello con $ d_3 $ che con quello di $ d_5 $...
Ci ho pensato stamattina, ditemi se sbaglio..
Le probabilità di vincere al primo giro sono:
$P(U_3)= \frac{1}{4}$
Le probabilità di tornare a $d_3$ sono:
$P(d_3) = \frac{5}{12}$
perchè ci si può arrivare da $d_4 = \frac{1}{4}$,da $d_5 \rightarrow d_6 = \frac{1}{8}$ e da $d_5 \rightarrow d_6 \rightarrow d_5 \rightarrow d_6 = \frac{1}{24}$
Di questi $\frac{5}{12}$ si vince $\frac{1}{4}$ delle volte, mentre si ha sempre possibilità $\frac{5}{12}$ di tornare al punto di partenza.
Si ha quindi:
$P(U_3) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12} * \frac{1}{4} + \frac{5^2}{12^2} * \frac{1}{4}+... = \frac{1}{4} * \frac{1}{\frac{7}{12}} = \frac{1}{4} * \frac{12}{7} = \frac{3}{7}$
Possibile?
Mare Adriatico: fatto
tetto del Di Stefano: fatto
finestra del Verdi: fatto
lavandino del Cecile: fatto
Arno: fatto
Mar Tirreno: fatto
Mar Ionio: fatto
tetto del Carducci: fatto
mura di Pisa: fatto
ho fatto più allo scritto in normale che alla maturità \m/
Nel primo chiamiamo $ p $ la probabilità di uscire partendo dall'inizio:
avremo $ p=1/4+p/4 $ e l'equazione ci restituisce $ p $.
Nel secondo chiamiamo $ q $ la probabilità di uscire e chiamiamo $ t $ la probabilità di raggiungere $ d3 $ da $ d5 $.
$ t=1/4+t/4 $
$ q=1/4+q/4+tq/2 $
Che ci dà il risultato.
P.s.
Edex ha scritto:
Chuck Schuldiner ha scritto:
GouldG ha scritto:Anche a me viene 3/7. Tra l'altro poi ho simulato col computer 70000 tentativi e finiva in U3 29947 volte, direi che è giusto.
Fosse un esercizio di fisica sì.
Cosa intendi?
Credo si riferisca al fatto che la matematica non è una scienza sperimentale al contrario della fisica... Non possiamo fidarci (in questo ambito) di simulazioni al computer... Dobbiamo trovare un metodo inequivocabile che ci fornisca il risultato corretto
$ \mbox{ }\mbox{ } $And God said : $ \displaystyle c^2 \mu_0 \varepsilon_0 =1 $,
and then there was light.
