Il resto non cambia (ancora Kangourou)

[Gi.]

Se dividete $ 1059 $, $ 1417 $ e $ 2312 $ per un certo intero $ n>1 $ ottenete sempre lo stesso resto.
Qual è il numero $ n $?

[LeZ]

Testo nascosto:

1059 congruo 1417 congruo 2312 modulo n, quindi an+1059=bn+1417=cn+2312. Se le sottraggo una ad una ottengo n(a-b)=358. n(a-c)=1253. n(b-c)=895. (358,1253,895)=179.

[auron95]

Sbaglio o va bene anche $n=1$?

[LeZ]

Credo di non aver mai visto "modulo 1" XD

[Gi.]

Si Lez, mi pare corretta, è simile alla mia solo che al posto delle congruenze ho usato la notazione di divisibilità

Testo nascosto:

Chiamiamo k il resto, allora
n|1059-k
n|1417-k
n|2312-k

Come noto la divisibilità si preserva con le combinazioni lineari, quindi

n|1417-k-(1059-k)=358
n|2312-k-(1417-k)=895
n|895-2*358= 179

ma essendo 179 primo n=1(che non funziona) oppure n=179 stesso.

Non in latex, altrimenti sballa tutto.

[LeZ]

Tolto il Latex. Sì è uguale la soluzione.

[Drago96]

O.o
Cosa vuol dire "non funziona la divisione per 1"?

Dati due interi $a,b$ esistono e sono unici due interi $q,r$ con $0\le r<b$ tali che $a=qb+r$. Questa è detta divisione con resto di $a$ per $b$.
Se noi prendiamo $b=1$, allora i due interi sono $q=a,r=0$, ma esistono!

Tutto ciò per dire che ha perfettamente senso, anche se nessuna utilità, dividere per $1$...
E non hai mai visto "modulo 1" perchè i resti possibili sono appunto uno solo ($0$) e non ha appunto nessuna utilità il definire una relazione di equivalenza nella quale tutti gli elementi sono in relazione...

[Gi.]

Oddio, non so perchè ma stavo considerando che in generale $ k:1 $ ha resto $ k $, ma l' idea che $ 1 $ divide ogni numero non ha minimamente sfiorato il mio cervello
Mi scuso con Auron, effettivamente ha ragione lui: correggo il testo.

[auron95]

Nessun problema

[☆zeta]

Se un numero X divide A e B allora divide anche A-B perché A = CX e B = DX quindi A-B = X(C-D) quindi quel numero divide sia 1417-1059 = 358 che 2312-1417= 895
ma 358 = 2×179 e 895 = 5×179 quindi il numero cercato è 179

[auron95]

Attenzione però: tu non sai che n divide quei numeri, sai solo che quei numeri danno lo stesso resto divisi per n...

[☆zeta]

Vero...

Be se il resto è uguale allora lo chiamo R ed ho A = CX + R e B = DX + R quindi A-B = X(C-D) quindi X deve dividere A-B