Quadrati e cubi smussati

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Ehm... coff...cioè...insomma...a dire la verità ci ho provato in tutti i modi, anche se di fatto non ho fatto gran chè, cioè semplificavo un po\' l\'integrale, ma a un certo punto rimaneva sempre un \"nocciolo duro\" che non riuscivo a risolvere, allora ho guardato cosa diceva Mathematica... tanto per curiosità, e in effetti gli viene il tuo stesso risultato...

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

La cosa mi solleva...in entrambi i sensi: sono contento di aver imbroccato il risultato e sono contento che nn ci sia una soluzione più semplice (almeno per ora) o quantomeno che nn me lo si venga a dire appena ho finito di impelagarmi con le ipergeometriche... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

qualcuno si prende la briga di spiegarmi cosa sia di preciso una serie ipergeometrica? e, magari, evariste, ti spiacerebbe indagare se col mio metodo si arriva a qualcosa di decente (mi ricorda le funzioni ellittiche qualcosa del mio modo di \"risolvere\"...)
 grazie...

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

No, non penso esista un modo più semplice... cmq l\'idea della serie ipergeometrica è davvero intelligente, complimenti!

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Dunque...la serie ipergeometrica è (per farla semplice) una serie in cui il rapporto tra un termine (indice k+1) e il precedente (indice k) è della forma:
 
 x*[(k+a1)(k+a2)...(k+ap)]/[(k+b1)(k+b2)...(k+bq)(k+1)]
 
 e tale serie si scrive pFq; nel nostro caso la serie è 2F1 e infatti vi sono al numeratore (k+1/4)(k+3/4) e al numeratore vi è (k+5/4)(k+1), quindi le a sono
 a1=1/4 e a2=3/4, mentre la b1=5/4.
 La funzione ipergeometrica è la somma di infiniti termini di una serie ipergeometrica che (a volte) converge.
 La funzione ipergeometrica può anche essere scritta come una sommatoria, coinvogendo i simboli di Pochhammer...ma è lunghetto....se vuoi chiedi e posto qualcosa in più stasera!
 
 Per la tua soluzione, sembra anche a me che si giunga ad un integrale ellittico (per la precisione, se non dico cazzate, dovrebbe essere un int. ell. incompleto del II tipo...) ma sinceramente dovrei riguardarmela....anche perchè tu hai (1+cos^2 x)^(-1/2) => (2-sen^2 x)^(-1/2) => sqrt(2) * (1 - 1/sqrt(2)*sen^2 )^(-1/2)...e questo sarebbe l\'integrale suddetto se nn fosse per il meno di -1/2...ci penserò!
 
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Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

thanks a lot.
 se hai qualche pdf al riguardo, la mia mail è <A HREF="mailto:marco.golla@libero.it">marco.golla@libero.it</A> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: ma_go il 14-06-2003 13:02 ]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Dunque, ma_go, hai fatto solo un errore :
 
 il passaggio in polari è giusto sennonchè l\'area sotto a r=f(p) (c. polari) è
 
 1/2 Int[f(p)^2]dp e tu hai omesso 1/2...poi incasini un po\' i coefficienti numerici, cmq il tutto ci porta a dire:
 
 4*Int[(1-x^4)^(1/4),{x,0,1} = 4*1/4*Int[(1-1/2*(senp)^2)^(-1/2),{p,0,Pi}]=
 
 =2K(1/2)= Pi*2F1(1/2,1/2,1,1/2)= Pi^(3/2) / (Gamma(3/4))^2
 
 K è l\'integrale ellittico completo del primo tipo
 
 Il risultato coincide numericamente con il mio, ma nn riesco a manipolare gamma per rendere evidente l\'uguaglianza...
 
 Cmq, a meno che tu nn conoscessi gli int. ellittici e il loro legame con 2F1, nn avresti potuto andare oltre alla trascrizione in polari.
 
 Per le info, presumo che l\'unico posto dove puoi trovare qlcs su ipergeometriche è lo storico www.mathworld.com
 
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talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

beeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeellllllllllllllo!!!!!!
 complimenti evariste!!
 beh...adesso c\'è da risolvere quello nello spazio...
 coraggio... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Bhè prima di inziare ad attaccare la superficie sarà bene avere almeno un idea di come è fatta, ecco una bella immagine da me creata (modestamente...)
 <img border=\"0\" src=\"http://utenti.tripod.it/mate_fisica/sferoide.gif\" width=\"265\" height=\"287\">
 Per quanto riguarda calcolarne il volume (o la superficie che sia) le cose si complicano, anche se un bell\'integrale doppio (sfruttando le simmetrie) potrebbe servire, solo che ovviamente non sarà immediatamente interabile...
 ci sarà da fare qualche casino tipo quello di prima.. in bocca al lupo a tutti coloro che ci proveranno!

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

visto che la sezione per z=0 è la curva che abbiamo affrontato prima, la superficie di questo solido sarebbe un integrale doppio:
 
 f(x,y)=(1- x^4 - y^4)^(1/4)
 
 A= 8*Int[ Int[1 + D_x[f(x,y)]^2 + D_y[f(x,y)]^2, {x,0,1}], {x,0,1}]
 
 Dove D_x è la derivata dz/dx e D_y è la derivata dz/dy. Per le simemtrie della curva piana studiata prima, possiamo integrare entrami tra 0 e 1 e moltiplicare per 8 il tutto. Ora, risolvetelo...io ho la maturità.
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 17-06-2003 18:50 ]

Mef · Messaggio da **Mef** » 01 gen 1970, 01:33

Io speravo di risolverlo con un integrale più semplice, ma disgraziatamente mi viene una funzione ellittica... (la superficie di x^4+y^4=r dipende in maniera lineare dalla radice di r, vero?) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Mef il 28-06-2003 10:14 ]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Finora nenche ci ho provato a capire quello che avete scritto (magari vedrò cosa è una serie ipogeometrica sul post di Evariste) [quando ho tempo dovrò aprire stò wolfram].......Capirò il tutto alla fine della quarta.....o della quinta.......o dell\'università. Insomma, prima o poi. Scrivo solo per fare un commento stupido: ovviamente Jack202 ha risolto entrambi i problemi i + o - 10 minuti..... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
 InFo

thematrix · Messaggio da **thematrix** » 01 gen 1970, 01:33

sempre su x^4+y^4=1:
 come si calcola il perimetro di tale figura?
 e inoltre:data la distanza 2 (definita dai punti A(1;0) e B(-1;0)),esiste una costante per calcolarne il perimetro/l\'area,un po\' come pi per il cerchio?

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

penso che ci siano circa due modi (magari equivalenti) per calcolare il perimetro:
 1) derivare l\'area (data in funzione di r, data l\'equazione della curva x^4+y^4=r)
 2) integrare da 0 a r la funzione sqrt(1+f\'(x)²), dove f(x) = (1/(1-x^4))^(1/4)...
 erro forse? o voci che proveniute a cervelli più avanzati (anti, mathema, DD, evariste...), illuminatemi! indicatemi la via a seguire, se già l\'ho presa o se devo cambiare!

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

La lunghezza di un arco di una curva f(x) tra gli estremi a e b è l\'integrale :
 ../b... ____________
 .| . . /
 .| . / 1 + [f \' (x)]^2
 .| V
 /a
 
 Ma sinceramente nn riesco a calcolare un simile integrale per la funzione proposta. Se qualcuno ha qualche idea...
 
 PS: grazie del complimento ma_go, mi fai arrossire
 <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 02-07-2003 22:11 ]