Algebrico o no?

[Tess]

Tratto da un quesito della simulazione per Cesenatico di Torino, almeno credo. È da un po' che ci penso. Spero sia il posto giusto dove postarlo, almeno!
Consideriamo il numero reale $\alpha$ la cui espansione decimale è $0,c_1 c_2 c_3 c_4 \dots$ dove $c_n$ è $1$ se $n$ è quadrato, $0$ altrimenti.
La domanda è $\alpha$ è algebrico o trascendente?

[EvaristeG]

Hintone:

Testo nascosto:

Sia $\alpha$ un numero algebrico e sia $p\in \mathbb{Z}[x]$ tale che $p(\alpha)=0$, allora esiste un numero $A>0$ (dipendente da $\alpha$ e da $p(x)$) tale che, per ogni coppia di interi $p,\ q$ con $q>0$, si ha $|\alpha-p/q|>A/q^n$, dove $n=\deg p(x)$.

[Gottinger95]

Piccolo dubbio: se \(\beta\) è trascendente, può esistere per ogni \(n\) un numero razionale q tale che \(| \beta - q | < 10^{-n} \)?
Per quanto riguarda invece l'hint di EvaristeG, c'è qualcosa che non mi quadra:

Testo nascosto:

Se prendo \(\alpha=p/q\) un algebrico razionale, il LHS può essere 0. Come fa ad essere maggiore stretto di qualcos'altro? Forse nella disuguaglianza c'è un minore?

[ndp15]

Piccolo dubbio: se \(\beta\) è trascendente, può esistere per ogni \(n\) un numero razionale q tale che \(| \beta - q | < 10^{-n} \)?

Questa proprietà se ci pensi vale per tutti i numeri q reali.

[EvaristeG]

Ovviamente intendevo algebrico di grado maggiore di 1 ... cioè algebrico irrazionale.

[Tess]

Beh, questo fatto è proprio quello che credevo fosse necessario per risolvere la domanda (sostanzialmente dovrei trovare una successione di razionali $p_n/q_n$ tali che $|\alpha-p_n/q_n|<1/q_n^n$, o comunque qualcosa che si avvicini più velocemente di qualsiasi polinomio).
Il fatto è che non riesco a trovare i razionali che approssimano bene $\alpha$. Se uso una somma di potenze di 10 non mi avvicino abbastanza, non riesco neanche ad ottenere $n\geq 2$. Cosa prendere?

[<enigma>]

Volevo scriverlo io ma mi sembrava brutto... l'hintone è segato perché al massimo puoi usare il contronominale per dimostrare che $\alpha$ è trascendente: ma l'unica successione sensata di approssimazioni razionali (ovvero $\displaystyle \frac{1}{10}, \frac{1001}{10000}, \frac{100100001}{1000000000}, \dots$) ha denominatori $q_n=10^{n^2}$, e l'esponente che ottieni è circa $10^{1+2/n} $... che non è neanche lontanamente sufficiente per dimostrare che $\alpha$ è Liouville; neanche macchinari più avanzati come Thue-Siegel-Roth riescono a cavare fuori qualcosa... a meno che EG non avesse in mente una successione di razionali a cui non abbiamo pensato

[<enigma>]

Ho trovato proprio quel che fa al caso nostro... qui (corollario 52, pagg. 33-34) dice che Nesterenko ha mostrato che, per $q \in \mathbb C$ algebrico con $0<|q|<1$, il numero $\vartheta_3(q)$ ($\vartheta$ è la solita funzione $\vartheta$ di Jacobi) è trascendente: in particolare $\alpha=\dfrac 1 2 \left ( \vartheta_3 \left ( \dfrac 1 {10} \right ) -1 \right )$ è trascendente.