Operazioni tra i vettori

[simone256]

Ragazzi ieri stavo provando un esercizio usando i vettori... (Se vi interessa è il problema 2 a pagina 298 dell' Engel)...

La mia domanda è questa:
se ho 4 vettori $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ e due condizioni:

$ A^2 - B^2 = D^2 - C^2 $
$ A - B = D - C $

E' vietato sviluppare il sistema in questo modo?

$ (A+B)(A-B) = (D+C)(D-C) $
$ A - B = D - C $

=> $ A+B = D+C $

Perchè mi manda tutto a quel paese... Credo che il problema sia il fatto che abbiamo a che fare con un prodotto scalare e quindi alla fine dovremmo ottenere una cosa che non scrivo qui per paura di scrivere troppe cagate!...

In sintesi, è quindi vietato dividere le due condizioni?

[ma_go]

sì, è vietato. e, se ci pensi un po', capisci anche perché.
semplifichiamoci la vita, e togliamo degli inutili orpelli: sai trovare tre vettori $u, v, w$ tali che $u\cdot v = u \cdot w$?
se adesso fissi $u$ (arbitrario), sai trovare $v$ e $w$ tali che $u\cdot v = u \cdot w$?

[simone256]

Se chiamiamo $ \alpha $ l'angolo compreso tra $ w $ e $ u $ e $ \beta $ l'angolo compreso fra $ v $ e $ u $ allora per avere $ u\cdot v = u \cdot w $ dovrà essere $ |v| \mbox{ cos }\beta = |w| \mbox{ cos }\alpha $ e non necessariamente $ v=w $.
Io l'avevo pensata così

[ma_go]

sì, va bene. e da qui non si conclude?

[simone256]

Intendi l'esercizio? No semplicemente con il metodo errato riducevo enormemente le soluzioni che dipendevano anche dalla posizione del punto di riferimento... E a logica capivo che avevo cannato e il passaggio meno ortodosso mi sembrava proprio questo! L'esercizio si risolveva facilmente semplificando il sistema senza dividere niente

[fph]

Credo che ma_go intendesse "e da qui non riesci a concludere che quella 'semplificazione' non funziona?". In fondo, hai praticamente costruito un controesempio in cui le prime due relazioni valgono e la terza no.

[simone256]

Beh posso aggiungere che $ v=w $ è soluzione ma non è l'unica quindi, poiché il prodotto scalare dipende anche dalla direzione del vettore oltre che dal suo modulo; Pertanto quella semplificazione escludeva tutte quelle coppie di vettori tali che $ |v| \mbox{ cos }\beta = |w| \mbox{ cos }\alpha $, $ \mbox{ cos }\beta \neq \mbox{ cos }\alpha $ e (ovviamente) $ |v| \neq |w| $.

Non so se ho detto ciò che dovevo dire