Principio di induzione e problema dei corvi neri

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
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gilgamesh
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Principio di induzione e problema dei corvi neri

Messaggio da gilgamesh » 13 giu 2013, 19:19

Ho trovato in giro per il web, forse su Wikipedia, una spiegazione del famoso problema dell'induzione relativo ai corvi neri, trattato in termini matematici. Questa dimostrazione porta a concludere che tutti i corvi sono neri in seguito alla osservazione di un gruppo di $ n\in N $ corvi neri .

Dunque il problema vieni tradotto in termini matematici come segue: si vuole dimostrare che $ \forall n\in N $ vale $ P(n)= $" un'insieme di n corvi tutti corvi neri"

-Passo base: basta trovare un corvo nero ed è fatta
-Passo induttiv: si suppone vero $ P(n) $ e si dimostra vero $ P(n+1) $ : l'insieme di n+1 corvi (ad esempio 5) si scrive come l'unione di due insiemi di n elementi (4 corvi) che hanno n-1 elementi in comune (3 corvi). Ho fatto una figura, per spiegare meglio cosa non riesco a capire :
Immagine
dall'ipotesi induttiva questi gruppi di n corvi sono tutti neri in quanto sono nel numero di "n"! E si dice una cosa del tipo che si può dedurre che tutti gli n+1 corvi sono neri perchè l'intersezione dei due insiemi non è vuota.Ed infatti:

Immagine
Infine si afferma che tuttavia il passo induttivo non è giusto perchè non è valido nel caso che n=1 , infatti in quel caso i due insiemi hano in comune 0 elementi e non si può dedurre che n+1 , due corvi siano di colore nero.

Ma questa dimostrazione a me non convince per altri motivi...per esempio, per quale motivo ad esempio si dovrebbe affermare che "dato che gli insiemi in cui si è suddiviso l'insieme di n+1 corvi, contengono n elementi, allora questi due insiemi sono composti da elementi neri" , cioè, cosa centra il fatto che siano n con il fatto che siano neri ? Effettivamente a me questa sembra la più grande pecca del ragionamento.Ma probabilmente ho capito male :?

E poi per quale motivo , dato che l'intersezione non è vuota allora la proprietà vale, e se è vuota allora il ragionamento cade? :?:

Grazie in anticipo per l'aiuto :smt023

Ouroboros
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Re: Principio di induzione e problema dei corvi neri

Messaggio da Ouroboros » 13 giu 2013, 21:01

Devo dire che quanto hai scritto mi ha incuriosito molto... tuttavia, nonostante abbia cercato un po' non ho trovato la fonte di quanto hai esposto...
Comunque, ecco qualche mia considerazione:
Il problema é posto nei giusti termini? Perché parte dalla seguente considerazione: ogni insieme che costruisco, con n elementi, deve essere costituito solo da corvi neri... ma questi corvi da dove li "prendo"? Mi spiego meglio: tu dici che per n=1 "basta trovare un corvo nero"... quindi tu scegli un elemento da un insieme che non necessariamente contiene solo corvi neri... e se solamente ce ne fosse uno non nero la tesi cadrebbe (o meglio, non puoi dire che tutti i corvi sono neri ma solo che ce ne sono infiniti, che é diverso...). Se dovessimo applicare questo ragionamento alla realtà ( dobbiamo? O é solo una sorta di esercizio matematico?) dovremmo considerare un insieme di m corvi, ma non possiamo usare l'induzione perché o affermiamo che tutti i corvi sono neri (e quindi siamo già alla tesi...) oppure per n=1 non possiamo garantire che tutti gli insiemi di n elementi abbiano un corvo nero.
Altra cosa non chiara: "vale per P(n)..." si intende ognuno degli insiemi o un solo insieme? Io lo intendo come una delle partizioni dell'insieme di m corvi, quindi ciò che affermi deve essere vero per ogni P(n)... quindi come può bastare un corvo nero per n=1? Tutti i corvi dovrebbero essere neri già di partenza!! Altrimenti, come puoi applicare il principio di induzione?
Io quindi credo che la dimostrazione sia sbagliata alla base. Ma forse, non conoscendo perfettamente i modi di applicare il principio di induzione agli insiemi, magari mi sono perso qualcosa, o forse non ho capito bene. "Ali oscure, oscure parole", in questo caso "oscure" va inteso come misteriose... [quest' ultima affermazione é OT, ma non potevo non dirlo!]
Credo che i tuoi dubbi sorgano proprio da come é posta la soluzione. Infatti, é chiaro che se per ogni P(n) vale "P(n) é composto solo da corvi neri", allora anche P(n+1) é fatto da soli elementi neri, perché vuol dire che ci sono solo corvi neri ( tutti i sottoinsiemi possibili sono di corvi neri...).

Prova a darmi il link della soluzione ( anche come messaggio privato, visto che non hai voluto citare la fonte), perché ci sono molte cose che non sono chiare neanche a me...

[Edit] Come può essere corretto un ragionamento induttivo che dimostra la propria falsità affermando che per n=1 non é più valido, quando per n=1 hai già affermato che il ragionamento funzionava? Questa dimostrazione non sembra per nulla basata sull'induttività!!
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gilgamesh
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Re: Principio di induzione e problema dei corvi neri

Messaggio da gilgamesh » 14 giu 2013, 17:17

Grazie per la risposta!
Allora , l'ho trovato su Wikipedia da qualche parte e non stavo più rintracciando la pagina. Mi è stato sufficiente rivedere la cronologia di qualche giorno fa per ritrovare il link, comunque si parlava di "cavalli" non di "corvi" , piccolo dettaglio :D

Non so se per le regole del forum si può postare il link, ma si può sicuramente mettere un testo citato, io copio ed incollo così come l'ho trovato.
Errori e fraintendimenti

Una classica applicazione sbagliata del Principio d'induzione è la seguente "dimostrazione" che porta a concludere che

Tutti i cavalli sono dello stesso colore

Ragioniamo per induzione sulla grandezza dei possibili insiemi di cavalli: dimostriamo che per ogni n \in \mathbb N vale P(n)="un insieme di n cavalli contiene tutti cavalli dello stesso colore":

1. Base dell'induzione: un insieme formato da un unico cavallo (n=1) contiene tutti cavalli dello stesso colore.
2. Passo induttivo: supponiamo vero P(n)="un insieme di n cavalli contiene tutti cavalli dello stesso colore" e dimostriamo P(n+1): un insieme di n+1 cavalli si può guardare come l'unione di due insiemi di n cavalli che hanno in comune n-1 elementi, quindi dall'ipotesi induttiva questi insiemi hanno tutti cavalli dello stesso colore, e dal fatto che hanno intersezione non vuota deduciamo che tutti gli n+1 cavalli hanno lo stesso colore, cioè abbiamo dimostrato P(n+1).

Segue dal principio d'induzione che qualunque sia il numero di cavalli presenti al mondo, questi hanno tutti lo stesso colore.

La dimostrazione del passo induttivo precedente è solo apparente: infatti per n=1 i due insiemi di n elementi hanno in comune n-1 = 0 elementi e non si può quindi dedurre che n+1 = 2 cavalli abbiano lo stesso colore.


comunque quando affermi:
ogni insieme che costruisco, con n elementi, deve essere costituito solo da corvi neri...ma questi corvi da dove li "prendo"?
E' la stesso questione che ho posto io affermando che, il fatto che i corvi siano nel numero di "n", non è condizione sufficiente per affermare che in realtà per ogni sottoinsieme A dell'insieme C (che contiene tutti i corvi del mondo) che contenga esattamente n corvi vale il predicato "l'insieme A contiene tutti corvi neri".

Ora tuttavia, mi rendo conto di un fatto che mi sta sembrando fondamentale, li non si dice "tutti cavalli/corvi neri" , ma "tutti cavalli, o corvi dello stesso colore", il che dovrebbe cambiare e non di poco la questione :?

P.s. chiedo scusa per la svista, ma non trovavo più il testo preciso :(

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gilgamesh
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Re: Principio di induzione e problema dei corvi neri

Messaggio da gilgamesh » 14 giu 2013, 17:20

Eh si, cambia decisamente perchè ora il passo base è valido, è immediato dimostrare che gli insiemi contenenti n=1 cavallo, sono tutti formati da un unico cavallo quindi necessariamente da un cavalli di colore uguale.

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Re: Principio di induzione e problema dei corvi neri

Messaggio da Ouroboros » 15 giu 2013, 09:02

Ok, adesso é più chiaro, provo a dire quello che ho capito.
Supponendo vero "P(n) é costituito da elementi dello stesso colore", prendo in considerazione un insieme con n+1 elementi: questo P(n+1) é costituito da due sottoinsiemi P(n) per i quali vale quanto detto sopra, quindi devo dimostrare che il colore che li caratterizza é lo stesso (é qui la differenza fondamentale con quello che dicevi tu: per ora gli insiemi potrebbero essere caratterizzati da colori diversi). Ma poiché essi hanno in comune n-1 elementi, ovviamente il colore di tutti gli elementi é lo stesso. A questo punto la dimostrazione cade per n=1 perché l'insieme P(2) é costituito da due sottoinsiemi di un elemento solo, perciò i cavalli potrebbero essere di colore diverso. [ Tutto ciò spiega la tua seconda domanda]

La sola cosa che non mi convince adesso é: se noi diciamo "P(n) é costituito da elementi dello stesso colore", perché questo dovrebbe valere in generale per ogni sottoinsieme di n elementi? (e infatti é ciò che non capisci neanche tu)
L'unico modo per accettare la dimostrazione é dire: "tutti i P(n) contengono elementi dello stesso colore", ma a questo punto non sto più considerando P(n) come l'insieme di tutti i miei elementi, solo come un sottoinsieme. Mi sembra un po' una forzatura, però effettivamente la dimostrazione é valida.. ma il passo base no, non tanto per la questione dei sottoinsiemi, ma perché nel passo base dovrei affermare: " ogni sottoinsieme di un solo elemento contiene elementi dello stesso colore", il che non dimostra proprio niente (é come dire: ogni cavallo é di un colore... ma va?)

Non ho mai visto una dimostrazione matematica che entra in contraddizione con il passo base... anche se non si può negare che il principio di induzione é stato applicato in modo sbagliato!
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Re: Principio di induzione e problema dei corvi neri

Messaggio da gilgamesh » 15 giu 2013, 10:35

La sola cosa che non mi convince adesso é: se noi diciamo "P(n) é costituito da elementi dello stesso colore", perché questo dovrebbe valere in generale per ogni sottoinsieme di n elementi? (e infatti é ciò che non capisci neanche tu)
Bè però a questo punto io ho rivisto per bene la definizione del principio di induzione e mi pare che tutto fili logicamente, cioè:
-dopo aver effettuato il passo base correttamente, bisogna supporre che la proprietà P, sia valida per un determinato P(n) e dimostrare che sia poi valida per P(n+1) , se si riesce a fare ciò allora la proprietà è valida $ \forall n \in N $. Tuttavia la nostra dimostrazione per (n+1) non è valida, pertanto se ne deduce che la proprietà non è assolutamente valida per ogni n.

- per il passo base, credo proprio che la proprietà sia valida, proprio perchè ogni insieme di un cavallo contiene cavalli dello stesso colore. E' una banalità certo, però è vero.

D'altronde, dimmi se mi sbaglio , ma per dimostrare che non è valida $ \forall n \in N $ è sufficiente fornire anche un controesempio, cioè se si prova ad effettuare il passo base per n=2 e non per n=1 , allora tentare di effettuare la dimostrazione per n cavalli dello stesso colore, o n cavalli neri è la stessa identica cosa, perchè si dovrebbe sempre definire un insieme di partenza dal quale "selezionare" gli elementi e tale insieme dovrebbe avere la proprietà di contenere (già per ipotesi) tutti cavalli dello stesso colore.

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Re: Principio di induzione e problema dei corvi neri

Messaggio da gilgamesh » 15 giu 2013, 10:40

Ouroboros ha scritto: Non ho mai visto una dimostrazione matematica che entra in contraddizione con il passo base...
Basti pensare ad una proprietà valida solo per i primi n numeri naturali, il passo base sarà valido $ \forall n_0<n \in N $, tuttavia il passo induttivo non potrà funzionare. Ciò non vuol dire che il passo induttivo entra in contraddizione con il passo base, ma semplicemente che la proprietà considerata non risulta essere valida $ \forall n \in N $ , ma lo è solo per $ \forall n_0<n $.O no ?

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Re: Principio di induzione e problema dei corvi neri

Messaggio da Ouroboros » 15 giu 2013, 11:29

Tuttavia la nostra dimostrazione per (n+1) non è valida, pertanto se ne deduce che la proprietà non è assolutamente valida per ogni n.

- per il passo base, credo proprio che la proprietà sia valida, proprio perchè ogni insieme di un cavallo contiene cavalli dello stesso colore. E' una banalità certo, però è vero.

D'altronde, dimmi se mi sbaglio , ma per dimostrare che non è valida $ \forall n \in N $ è sufficiente fornire anche un controesempio, cioè se si prova ad effettuare il passo base per n=2 e non per n=1 , allora tentare di effettuare la dimostrazione per n cavalli dello stesso colore, o n cavalli neri è la stessa identica cosa, perchè si dovrebbe sempre definire un insieme di partenza dal quale "selezionare" gli elementi e tale insieme dovrebbe avere la proprietà di contenere (già per ipotesi) tutti cavalli dello stesso colore.
Dunque... secondo me, la dimostrazione non è valida non perchè non funzioni il passo induttivo, ma perchè la dimostrazione del passo induttivo funziona $ \forall n \in N $ con n diverso da 1... quindi è valida TRANNE che per il passo base (e questo ce lo spiega tutta la trafila dei sottoinsiemi senza elementi in comune, cosa che avviene appunto quando n =1). Il che significa che passo base e passo induttivo... è come se facessero parte di dimostrazioni differenti.
Per spiegarmi meglio sfrutto il tuo secondo messaggio: se io trovo una proprietà dei primi n naturali, il passo base è "n=1 (poniamo) ha questa caratteristica (e ciò deve essere evidente o lo devo dimostrare)". Il passo induttivo è "assumo che quella caratteristica sia vera per n e la dimostro per n+1": se ciò non avviene, non è che la dimostrazione entra in contraddizione con il passo base, perchè n=1 ha ancora quella proprietà. Invece nel caso dei cavalli abbiamo: "per n=1 funziona", poi "assunto vero per n, funziona per n+1" ma ora non funziona più per n=1, o meglio la dimostrazione induttiva non è valida per n=1...

Quindi, quando dico che
Non ho mai visto una dimostrazione matematica che entra in contraddizione con il passo base...
intendo dire che non mi è mai capitato che la dimostrazione induttiva non valesse per il passo base, perchè normalmente una volta che ho determinato il passo base, ho "eliminato" un caso dalla mia dimostrazione, ovvero ho assunto che è sicuramente valido (altrimenti non avrebbe senso la dimostrazione).
Il passo base è valido, come dici tu, ma non lo è più nel passo induttivo... e com'è possibile ciò? Non capisco se è questo l'errore che la dimostrazione vuole sottolineare... perchè non capisco come uno potrebbe farlo in una dimostrazione rigorosa (tipo quelle con le successioni).

Come dici tu, alla fine è sufficiente scegliere un passo base differente e si vede subito che qualcosa non funziona; normalmente infatti si sceglie il passo base più semplice, ma si può partire da qualunque numero proprio perchè bisogna dimostrare che una certa proprietà è vera (solo che se parto da, diciamo, 97, la proprietà è valida solo per i numeri maggiori di 97, perciò di solito si parte dal numero più piccolo, quindi 0 o 1...). Diciamo che questa dimostrazione mi convince poco perchè sembra che l'errore che ti vogliono mostrare è nascosto nel modo di procedere (un po' come nella dimostrazione 0=1... l'hai mai vista?), ma mi chiedo: è possibile fare lo stesso errore quando uno applica normalmente l'induzione? E' come se ti stessero suggerendo: bada che il passo induttivo deve valere anche per il passo base... peccato che normalmente il passo base è incluso nel passo induttivo!
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Re: Principio di induzione e problema dei corvi neri

Messaggio da gilgamesh » 15 giu 2013, 16:21

Sostanzialmente quello che vuoi dire, se ho capito bene, è che il passo base è valido (d'altronde non può che essere così) tuttavia l'induzione non può essere applicata a partire da questo passo base: in altre parole, se solo fosse possibile effettuare il passo base per n=2 allora ora avremmo dimostrato che tutti i corvi del mondo sono necessariamente dello stesso colore e non si potrebbe muovere la minima critica a questo ragionamento,giusto?
E' un pò come se(riprendendo la vecchia metafora dell'induzione come "effetto domino"), noi possiamo spingere per farla cadere solo la prima tessera del domino , e non le sue successive, e speriamo in questo modo di farle cadere tutte; solo che ci accorgiamo all'ultimo che vi è troppo spazio tra la prima e la seconda tessera, e spingendo la prima , questa non tocca minimamente la seconda, e che a sua volta se cadesse farebbe cadere tutte le altre. Se solo si potesse far cadere la seconda tessera , allora tutto il resto verrebbe giù da sé!

Ouroboros
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Re: Principio di induzione e problema dei corvi neri

Messaggio da Ouroboros » 15 giu 2013, 17:13

Esatto.
Direi che tutto questo ragionamento ci porta ad una conclusione: quell'esempio su Wikipedia é decisamente poco azzeccato, visto che é così poco chiaro.
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Gottinger95
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Re: Principio di induzione e problema dei corvi neri

Messaggio da Gottinger95 » 04 lug 2013, 00:45

Se mi posso permettere di intrufolarmi ne discorso, vorrei far notare che questa induzione è \(P(n-1), P(n) \rightarrow P(n+1)\), ossia se è vero per \(n-1,n\) allora è vero anche per \(n+1\). Basta esaminare attentamente il passo induttivo. La dimostrazione dice: possiamo immaginare di scomporre l'insieme di \(n+1\) elementi in due insiemi di \(n\) elementi, che chiamiamo \(A,B\), con \(n-1\) elementi in comune. Chiamiamo poi \(C=A \cap B\).
Allora gli elementi di A sono tutti dello stesso colore, e in particolare del colore di C (perciò è implicito che anche C deve avere tutti gli elementi dello stesso colore), e tutti gli elementi di \(B\) sono dello stesso colore degli elementi di C. Questo, per la transitività di "essere dello stesso colore", significa ovviamente che gli elementi di A e B sono dello stesso colore, e dunque che l'insieme \(A \cup B\) ha tutti gli \(n+1\) elementi dello stesso colore.

Mentre per \(n>1\) è scontato che se la proprietà vale per \(n\), vale anche per \(n-1\), quando \(n=1\) non lo è affatto: in particolare, un insieme di 0 elementi non ha tutti i cavalli dello stesso colore, perchè non ha proprio cavalli, quindi il passaggio \(P(0), P(1) \rightarrow P(2)\) non funziona.

Il passo base andrebbe correttamente formulato esaminando n=1 e n=2. Di fatto non è vero che, prendendo una qualsiasi coppia di cavalli, sono dello stesso colore. Adesso è evidente che se questo fosse vero allora, anche senza tutto questo formalismo matematico, i cavalli sarebbero tutti dello stesso colore.
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Drago96
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Re: Principio di induzione e problema dei corvi neri

Messaggio da Drago96 » 04 lug 2013, 10:03

In realtà no!
Cioè, a te interessa che $A$ e $B$ abbiano tutti cavalli dello stesso colore (che è $P(n)$); poi $C$ ha cavalli dello stesso colore per come è definito: è sottoinsieme sia di $A$ che di $B$ e viene usato questo fatto per dire che l'insieme $A$ e l'insieme $B$ hanno lo stesso colore e quindi $n+1$ cavalli hanno lo stesso colore...
Il problema è proprio la cardinalità di $C$, che ha $n-1$ cavalli; per $n>1$ allora va benissimo, mentre per $n=1$ ha 0 cavalli, quindi non si può fare il passaggio "$A$ e $B$ dello stesso colore", ovvero è falso $P(1)\implies P(2)$, il che rende falsa l'induzione.

Inoltre, penso che l'insieme vuoto abbia tutte le caratteristiche che tu vuoi, proprio perché non ci sono elementi che contraddicono le proprietà. Quindi $P(0)$ penso che sia vera! :)
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Gottinger95
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Re: Principio di induzione e problema dei corvi neri

Messaggio da Gottinger95 » 04 lug 2013, 12:16

A dirla tutta i discorsi pseudo-matematici non mi fanno impazzire, però insomma a te serve che gli \(n\) di A siano dello stesso colore di C, e che questi siano dello stesso colore di B: se \(C\) non c'è, non puoi dire \(colore(A) = colore(C) = colore(B)\). Ammetto di averla messa in termini sbagliati, ma il succo è che il passaggio \(P(n) \rightarrow P(n+1)\) suppone \(n-1 >0\). Quindi si, il passo base dell'induzione dovrebbe essere \(P(2)\).

In definitiva mi sembra che siamo tutti abbastanza d'accordo :D

Ah, piccola cosa per i due che hanno iniziato il discorso: non è che di norma il passo base è incluso nel passo induttivo! Sono proprio due cose diverse!
Il passo base dice \(P(1)\) è vera. E' perciò una proposizione, niente di più. Il passo induttivo è un'implicazione, ossia \(P(n) \rightarrow P(n+1)\)!
Per dirla in termini di domino, il passo base ti dice che la prima tessera cade, ma non ti assicura in nessun modo che faccia cadere le altre. Il passo induttivo ti dice che se cade una tessera, cade anche quella dopo. In questo caso il passo induttivo vale per \(n \geq 2\) e non per \(n \geq 1\).
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Chuck Schuldiner
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Re: Principio di induzione e problema dei corvi neri

Messaggio da Chuck Schuldiner » 04 lug 2013, 12:24

Ma nessuno si era mai visto la dimostrazione che nessuno ha le orecchie del prof. Dindiot? lì il passo base è che 0 uomini hanno 0 orecchie, è ancora più figo \m/
cmq in questo thread "mi sembra di essere a ballarò" cit.
https://www.youtube.com/watch?v=35bqkTIcljs

Mare Adriatico: fatto
tetto del Di Stefano: fatto
finestra del Verdi: fatto
lavandino del Cecile: fatto
Arno: fatto
Mar Tirreno: fatto
Mar Ionio: fatto
tetto del Carducci: fatto
mura di Pisa: fatto

ho fatto più allo scritto in normale che alla maturità \m/

non aprire questo link

un pentacolo fatto col mio sangue
Testo nascosto:
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Gottinger95
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Re: Principio di induzione e problema dei corvi neri

Messaggio da Gottinger95 » 04 lug 2013, 12:29

ahahah chuck me fai taglià :D comunque mi pareva stamattina di essermi svegliato con...non saprei, delle orecchie un po' bucherellose...ecco, io ho paura di avere le orecchie di Dindiot. Mi potresti dimostrare che non ce l'ho?
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