disuguaglianza su seno e prodotti

[piazza88]

Considero funzioni $s_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definite da
$$ s_n (\omega) :=\frac{\sin\pi\omega}{\pi\omega}\prod_{j=1}^n\left( 1-\frac{\omega^2}{j^2}\right)^{-1}=\prod_{j=n+1}^\infty\left( 1-\frac{\omega^2}{j^2}\right), $$
dove la seconda uguaglianza segue dalla formula di fattorizzazione per il seno.
Come faccio a mostrare, usando la prima rappresentazione, che
$$ |s_n(\omega)|\leq\left(\frac{n}{2|\omega|}\right)^{2n-1}\text{ se }|\omega|\geq n ? $$

[fph]

Sposto in matematica non elementare, intanto. Sei sicuro che questo forum (dedicato alla matematica delle olimpiadi) sia il posto migliore dove porre questa domanda?

[piazza88]

forse no; speravo ci fosse una dimostrazione elementare

[piazza88]

effettivamente una dimostrazione elementare c'e'; poi quanto questo problema sia 'olimpico' lo sai valutare meglio tu