disuguaglianza su prodotto

[piazza88]

probabilmente e' banale: come si vede che per $n>1$ naturale vale (?)
$$ \prod_{i=1}^{n-1}\left( \frac{n^2}{i^2} -1\right)\ge\frac{1}{2} $$

[jordan]

Sei d'accordo che è equivalente a \[ \binom{2n-1}{n-1} \ge \frac{1}{2}? \]

[mne]Dalla formula di Wallis potresti anche ottenere una stima asintotica di $\binom{2m}{m}$[/mne]

[piazza88]

grazie, dovrebbe essere equivalente a $$ \binom{2n-1}{ n-1} \geq \frac{n+1}2$$
e da li' risulta semplice anche a me concludere per induzione.

[jordan]

Non serve l'induzione visto che LHS è un intero positivo:
\[ \prod_{i=1}^{n-1}{\left(\frac{n^2}{i^2}-1\right)}=\frac{1}{(n-1)!^2}\prod_{i=1}^{n-1}{(n^2-i^2)} =\frac{(2n-1)!}{n(n-1)!^2}= \frac{(2n-1)!}{n!(n-1)!}=\binom{2n-1}{n-1}.\]

[piazza88]

hai ragione

[Gottinger95]

A Jordan: cos'è la formula di Wallis?

[jordan]

A Jordan: cos'è la formula di Wallis?

Testo, e due dimostrazioni qui: http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... =66&t=1091. Chi deduce quanto vale asintoticamente $\binom{2n-1}{n-1}$?

[Gottinger95]

Sia \(W(n)\) il prodotto di Wallis troncato a \(n\) termini. Vogliamo ridurre in termini di semifattoriali sia \(W(n)\) che \(\binom{2n}{n}\).
Abbiamo:

\(\displaystyle W(n) = \frac{((2n)!!)^2}{(2n-1)!!(2n+1)!!} = \frac{((2n)!!)^2}{((2n-1)!!)^2(2n+1)} \)

\(\displaystyle \binom{2n}{n} = \frac{ (2n)!}{n! n!} = \frac{(2n)!!(2n-1)!! 2^{2n}}{n!n! 2^{2n}} = \frac{(2n)!!(2n-1)!! 2^{2n}}{((2n)!!)^2} = \frac{(2n-1)!! 2^{2n}}{(2n)!!} \)

Da cui si ricava
\(\displaystyle \frac{2^{4n}}{\binom{2n}{n}^2 (2n+1) } = \frac{2^{4n} ((2n)!!)^2}{((2n-1)!!)^2 2^{4n} (2n+1) } = W(n)\)

Isolando \(\binom{2n}{n}\) abbiamo

\( \displaystyle \binom{2n}{n} = \frac{2^{2n} }{\sqrt{W(n) (2n+1) } } \)

che per \( \lim_{n \to +\infty} \) diventa
\( \displaystyle \binom{2n}{n} = \frac{2^{2n+1} }{\sqrt{2n+1}} \frac{1}{\sqrt{\pi} }\)

Spero di non aver cannato troppo i conti xD