$3^x+11^y=z^2$

[LeZ]

Determinare tutte le soluzioni intere di: $ 3^x+11^y=z^2 $

[nic.h.97]

se $ x $ assume valore pari , $ y $ assume valore dispari e viceversa

Infatti , $ 3^x+11^y $ deve essere congrua a $ 0 $ o a $ 1 $ $ (mod 4) $ , poichè la loro somma è un quadrato perfetto e i residui quadratici modulo $ 4 $ sono $ 0 $ e $ 1 $.
$ 3^x $ modulo $ 4 $ puo' essere congrua a $ 1 $ o $ -1 $ , poichè è una potenza e quindi il resto si ripete in modo costante.
Analogalmente per $ 11^y $ , abbiamo che puo' essere solo congruo a $ 1 $ o $ -1 $.
Generalizzando , per $ x $ e $ y $ dispari , avremo che essi sono congrui a $ -1 $ modulo $ 4 $ e congrui a $ 1 $ se sono pari.
Abbiamo 4 combinazioni possibili:
1) $ 1 + (-1) $
2) $ (-1)+1 $
3) $ 1+1 $
4) $ (-1) + (-1) $

solo la prima e la seconda possono essere valide , poichè la somma puo' essere $ 0 $ o $ 1 $.
Avremo allora che se $ x $ è pari , allora $ y $ sara' dispari (1)e viceversa(2).
analizziamo prima il caso 1):
allora riscriviamo l'equazione con $ x=2m $:
$ 3^{2m}+11^y=z^2 \implies 11^y=(z-3^m)(z+3^m) $
$ (z-3^m) $ e $ (z+3^m) $ sono fattori di una potenza di $ 11 $ che è un numero primo , percio' essi possono assumere i valori $ 11^v $ con $ z\ge v \ge 0 $.

Scriviamo $ z-3^m=11^a $
$ z+3^m=11^b $
con $ a+b=y $
allora $ z=3^m+11^a $
e quindi $ 2*3^m+11^a=11^b $
supponendo $ a $ minore o uguale di $ b $
$ 2*3^m=11^a(-1+11^{b-a}) $
che per valori di $ a $ maggiori di $ 0 $ è impossibile , poichè a sinistra non abbiamo fattori $ 11 $. Allora $ a=0 $da cui $ 2*3^m=(-1+11^{b}) $
con $ b $ pari , avremo che il membro a destra è congruo a $ 0 mod 4 $ , mentre a sinistra abbiamo un nr che non è multiplo di $ 4 $.
con $ b $ dispari , avremo che il membro a sinistra è congruo a $ 0 mod 3 $ , mentre a destra è congruo a $ -2 mod 3 $.
lo stesso accade se b è minore o uguale di a
quindi nel caso $ 1 $ non c'è soluzione.
Caso 2)
$ y=2m $
$ 3^x=(z-11^m)(z+11^m) $
$ (z-11^m)=3^a $
$ (z+11^m)=3^b $
$ a+b=x $
quindi $ 2*11^m+3^a=3^b $
supponiamo $ a $ minoreo uguale di $ b $.
$ 2*11^m=3^a(-1+3^{b-a}) $
Come prima , se abbiamo $ a $ maggiore di $ 0 $ otteniamo dei fattori $ 3 $ a dx che a sx non abbiamo. Quindi $ a=0 $
$ 2*11^m=(-1+3^{b}) $
ora, $ 2*11^m mod 3 $ è congruo a$ -2 $ con$ m $ dispari e congruo a $ 2 $ con $ m $ pari , mentre a destra abbiamo che è congruo a $ -1 $ , percio' non c'è soluzione se non per $ m=0 $.
allora $ 2=3^b-1 \implies 3=3^b \implies b=1 $

allora con $ b=1 $ e $ y=2m=0 $ abbiamo $ z-1=1 $ e quindi $ z=2 $ . da qui risolviamo :$ 3^x + 1 = 4 \implies 3^x=3 \implies x=1 $
l'unica soluzione quindi è $ (1;0) $
Ho fatto tuttoo molto di fretta per l'orario , quindi forse ci saranno un po' di imprecisioni

[LeZ]

ora, $ 2*11^m mod 3 $ è congruo a$ -2 $ con$ m $ dispari e congruo a $ 2 $ con $ m $ pari , mentre a destra abbiamo che è congruo a $ -1 $ , percio' non c'è soluzione se non per $ m=0 $.

E' sbagliato quello che dici perchè se m è pari $LHS \equiv 2\pmod3$ e $RHS \equiv 2\pmod 3$. Quindi in questo caso va fatto un ulteriore passo.
Il ragionamento fino a quel punto è invece corretto.

[jordan]

Dobbiamo risolvere $3^a-2\cdot 11^b = 1$ in $\mathbb{N}$. E' chiaro che ad ogni $a$ corrisponde al massimo una soluzione $b$, e ad ogni $b$ corrisponde al massimo una soluzione $a$. Se $a=0$ non ci sono soluzioni. Se $b=0$ allora $a=1$. Per cui wlog $a \ge 2$ e $b\ge 1$. Modulo 9 abbiamo $6\mid b-2$. Modulo 4 e modulo 11 otteniamo $10 \mid a-5$. Per cui dobbiamo risolvere in $\mathbb{N}$ un'equazione del tipo \[3^{10x+ 5}-2\cdot 11^{6y+2}=1 \]
Per LTE abbiamo $6y+2=\upsilon_{11}(2\cdot 11^{6y+2})=\upsilon_{11}(3^{10x+ 5}-1)=\upsilon_{11}(3^5-1)+\upsilon_{11}(2x+1) \le 2+ \ln_{11}(2x+1)$, da cui $3^{10x+5}-1=2\cdot 11^{6y+2} \le 2\cdot 11^2 \cdot (2x+1)$, che non ha soluzione se $x \ge 1$. E $3^5-2\cdot 11^2=1$..

Nb. Manca il caso in cui $\min\{x,y,z\} < 0$, chi completa?

[nic.h.97]

ora, $ 2*11^m mod 3 $ è congruo a$ -2 $ con$ m $ dispari e congruo a $ 2 $ con $ m $ pari , mentre a destra abbiamo che è congruo a $ -1 $ , percio' non c'è soluzione se non per $ m=0 $.

E' sbagliato quello che dici perchè se m è pari $LHS \equiv 2\pmod3$ e $RHS \equiv 2\pmod 3$. Quindi in questo caso va fatto un ulteriore passo.
Il ragionamento fino a quel punto è invece corretto.

ma abbiamo $ 2∗11^m=−1+3^b $
quindi $ RHS $ non è congruo a $ -1 $ mod $ 3 $?

[LeZ]

$-1\equiv 2\pmod3$

[Triarii]

Provo a fare la seconda parte, quindi mi metto nell'ipotesi che almeno uno fra x,y sia negativo. Ovviamente se z è negativo l'equazione non varia visto che la variabile è elevata la quadrato.
Per ipotesi almeno uno fra x e y è negativo. Se ad esempio x è negativo, ottengo $ \frac {1}{3^a} +11^y=z^2 \rightarrow 3^x\cdot 11^y+1=3^x\cdot z^2 $ che è chiaramente impossibile: infatti $ LHS\equiv 1 (mod 3) $ mentre $ RHS\equiv 0 (mod 3) $ (ricordiamo che x è negativo, quindi non può essere 0, altrimenti ritorniamo ad uno dei casi già risolti da Jordan). Con ragionamenti del tutto analoghi si dimostra che l'equazione non ha soluzioni quando solo y è negativo e qaundo sia x che y sono negativi.
Non ho ben capito nel ragionamento di Jordan cosa c'entri il logaritmo naturale, qualche anima pia potrebbe spiegarmi questo utilizzo?

[jordan]

Non ho ben capito nel ragionamento di Jordan cosa c'entri il logaritmo naturale, qualche anima pia potrebbe spiegarmi questo utilizzo?

Viene utilizzata questa semplice (e utile) disuguaglianza:

Dato un primo $p$ e un intero $x \ge 1$, vale \[ \upsilon_p(x) \le \text{log}_{p}(x)=\frac{\ln x}{\ln p} \]

Sei d'accordo?


Ps. Visto che parliamo di numeri interi, vale anche $ \upsilon_p(x) \le \lfloor \text{log}_{p}(x) \rfloor$..

[Triarii]

Wooo figata! Il segno di uguale vale solo se $ x=p^a $ giusto?

[jordan]

...solo se $ x=p^a $ giusto?

Eh beh..

[NicolasRossi]

Ma l'ho trovato solo io $3^5 + 11^4=122^2$ continuando il ragionamento di nic.h.97?