Salve a tutti, qualcuno può darmi un suggerimento per risolvere il problema 5 della gara di Campigotto del 12/04?
Il testo è:
$ \textrm {Il numero } \textit{n} \textrm { si ottiene calcolando la seguente espressione:}\\(1\cdot2\cdot3\cdot4)+(2\cdot3\cdot4\cdot5)+(3\cdot4\cdot5\cdot6)+\cdots\cdots+(994\cdot995\cdot996\cdot997)+(995\cdot996\cdot997\cdot998).\\\textrm{Che resto si ottiene dividendo }\textit{n} \textrm{ per 1000?} $
Grazie
(1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000
Re: (1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000
Io proverei a dividere tutto per $4!$
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Re: (1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000
Ok! Ottengo qualcosa del tipo: $ 1+5+3\cdot5+5\cdot7+\cdots\cdots+497*995*83*997+995*83*997*499\equiv1+5+3\cdot5+5\cdot7+\cdots\cdots+(-5)*(-3)+(-5)*(-1)\\\equiv1+5+3\cdot5+5\cdot7+\cdots\cdots+3*5+5\ (mod\ 1000). $dario2994 ha scritto:Io proverei a dividere tutto per $4!$
Però così non riesco a vederlo in modo più semplice
Re: (1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000
$\binom{22}{4}=\frac{19\cdot 20 \cdot 21 \cdot 22}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}$
...tristezza ed ottimismo... ed ironia...
Io ti racconto lo squallore di una vita vissuta a ore di gente che non sa più far l'amore...
"Allora impara a fare meno il ruffiano. Io non lo faccio mai e guarda come sono ganzo" Tibor Gallai
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Re: (1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000
Ti do due suggerimenti, non so quanto possano aiutarti però.
Hint 1:
Hint 2:
Hint 1:
Testo nascosto:
Testo nascosto:
Re: (1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000
Ok, da qui ricavo $ n=4!\cdot\displaystyle\sum_{n=4}^{998} \binom{n}{4}=4!\cdot\sum_{n=4}^{998} \binom{n}{n-4} $dario2994 ha scritto:$\binom{22}{4}=\frac{19\cdot 20 \cdot 21 \cdot 22}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}$
Dal secondo suggerimento ho $ n=4!\cdot\displaystyle\binom{999}{994}=\displaystyle\frac{1}{5}\cdot999\cdot998\cdot997\cdot996\cdot995\equiv(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot(-4)\cdot199\equiv776\ (mod\ 1000). $LeZ ha scritto:Ti do due suggerimenti, non so quanto possano aiutarti però.
Hint 1:Hint 2:Testo nascosto:Testo nascosto:
Scusate ora la mia ignoranza, ma si potrebbe dimostrare facilmente la validità dei due suggerimenti di LeZ? Si tratta di proprietà note che dovrei conoscere?
Grazie
Edit: ok, credo di aver capito che il secondo è facile da dimostrare
Re: (1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000
Il primo è pura algebra il secondo lo dimostri agevolmente con l'induzione e con il famoso fatto che $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ o in svariati altri modi probabilmente.
Re: (1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000
Scusate il breve off topic.
@Alceus: che il prodotto di quattro numeri consecutivi +1 è un quadrato perfetto lo puoi dimostrare così:
$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1 $
adesso il prodotto di n e n+3 è quasi simile a quello di n+1 e n+2, e questa è una cosa buona quando cerchi quadrati:
$ (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 $
adesso si può usare un piccolo trucco per rendere il tutto più simmetrico
$ ((n^2+3n+1)-1)((n^2+3n+1)+1)+1 $
$ (n^2+3n+1)^2 $
Qui trovi altri tre o quattro modi per dimostrarlo (oltre a quello sopra).
@Alceus: che il prodotto di quattro numeri consecutivi +1 è un quadrato perfetto lo puoi dimostrare così:
$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1 $
adesso il prodotto di n e n+3 è quasi simile a quello di n+1 e n+2, e questa è una cosa buona quando cerchi quadrati:
$ (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 $
adesso si può usare un piccolo trucco per rendere il tutto più simmetrico
$ ((n^2+3n+1)-1)((n^2+3n+1)+1)+1 $
$ (n^2+3n+1)^2 $
Qui trovi altri tre o quattro modi per dimostrarlo (oltre a quello sopra).