(1*2*3*4)+....(995*996*997*998) mod 1000

[alceus]

Salve a tutti, qualcuno può darmi un suggerimento per risolvere il problema 5 della gara di Campigotto del 12/04?
Il testo è:
$ \textrm {Il numero } \textit{n} \textrm { si ottiene calcolando la seguente espressione:}\\(1\cdot2\cdot3\cdot4)+(2\cdot3\cdot4\cdot5)+(3\cdot4\cdot5\cdot6)+\cdots\cdots+(994\cdot995\cdot996\cdot997)+(995\cdot996\cdot997\cdot998).\\\textrm{Che resto si ottiene dividendo }\textit{n} \textrm{ per 1000?} $

Grazie

[dario2994]

Io proverei a dividere tutto per $4!$

[alceus]

Io proverei a dividere tutto per $4!$

Ok! Ottengo qualcosa del tipo: $ 1+5+3\cdot5+5\cdot7+\cdots\cdots+497*995*83*997+995*83*997*499\equiv1+5+3\cdot5+5\cdot7+\cdots\cdots+(-5)*(-3)+(-5)*(-1)\\\equiv1+5+3\cdot5+5\cdot7+\cdots\cdots+3*5+5\ (mod\ 1000). $
Però così non riesco a vederlo in modo più semplice

[dario2994]

$\binom{22}{4}=\frac{19\cdot 20 \cdot 21 \cdot 22}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}$

[LeZ]

Ti do due suggerimenti, non so quanto possano aiutarti però.
Hint 1:

Testo nascosto:

"Il prodotto di 4 interi consecutivi +1 è sempre un quadrato perfetto".

Hint 2:

Testo nascosto:

$ {n\over{24}}=\binom{4}{0}+\binom{5}{1}+\binom{6}{2}+....+\binom{n}{n-4}= \binom{n+1}{n-4} $

[alceus]

$\binom{22}{4}=\frac{19\cdot 20 \cdot 21 \cdot 22}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}$

Ok, da qui ricavo $ n=4!\cdot\displaystyle\sum_{n=4}^{998} \binom{n}{4}=4!\cdot\sum_{n=4}^{998} \binom{n}{n-4} $

Ti do due suggerimenti, non so quanto possano aiutarti però.
Hint 1:

Testo nascosto:

"Il prodotto di 4 interi consecutivi +1 è sempre un quadrato perfetto".

Hint 2:

Testo nascosto:

$ {n\over{24}}=\binom{4}{0}+\binom{5}{1}+\binom{6}{2}+....+\binom{n}{n-4}= \binom{n+1}{n-4} $

Dal secondo suggerimento ho $ n=4!\cdot\displaystyle\binom{999}{994}=\displaystyle\frac{1}{5}\cdot999\cdot998\cdot997\cdot996\cdot995\equiv(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot(-4)\cdot199\equiv776\ (mod\ 1000). $

Scusate ora la mia ignoranza, ma si potrebbe dimostrare facilmente la validità dei due suggerimenti di LeZ? Si tratta di proprietà note che dovrei conoscere?
Grazie

Edit: ok, credo di aver capito che il secondo è facile da dimostrare

[LeZ]

Il primo è pura algebra il secondo lo dimostri agevolmente con l'induzione e con il famoso fatto che $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ o in svariati altri modi probabilmente.

[Gi.]

Scusate il breve off topic.

@Alceus: che il prodotto di quattro numeri consecutivi +1 è un quadrato perfetto lo puoi dimostrare così:

$ n(n+1)(n+2)(n+3)+1 $

adesso il prodotto di n e n+3 è quasi simile a quello di n+1 e n+2, e questa è una cosa buona quando cerchi quadrati:

$ (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1 $

adesso si può usare un piccolo trucco per rendere il tutto più simmetrico

$ ((n^2+3n+1)-1)((n^2+3n+1)+1)+1 $
$ (n^2+3n+1)^2 $

Qui trovi altri tre o quattro modi per dimostrarlo (oltre a quello sopra).