PreIMO 2005
PreIMO 2005
Dati $ x,y $ reali positivi tali che $ x+y=2 $ dimostrare che :
$ x^2y^2(x^2+y^2)\leq 2 $.(è facile però ha vari approcci ed è carino ).
$ x^2y^2(x^2+y^2)\leq 2 $.(è facile però ha vari approcci ed è carino ).
Re: PreIMO 2005
E' davvero un PreIMO? Boh, credo di esserci riuscito:
$ (xy)^2((x+y)^2-2xy) \le2 $
$ (xy)^2(4-2xy)\le2 $
$ 4(xy)^2-2(xy)^3 \le 2 $
$ (xy)^2(4-2xy)\le 2 $
e abbiamo finito, perchè il massimo di $ xy $, con la condizione $ x+y=2 $, è $ 1 $, e andando a sostituire dà proprio $ 2 $.
p.s. i vari $ \le $ sono da intendere come "interrogativi" e il massimo l'ho trovato per GM-AM sulla coppia $ (x,y) $.
$ (xy)^2((x+y)^2-2xy) \le2 $
$ (xy)^2(4-2xy)\le2 $
$ 4(xy)^2-2(xy)^3 \le 2 $
$ (xy)^2(4-2xy)\le 2 $
e abbiamo finito, perchè il massimo di $ xy $, con la condizione $ x+y=2 $, è $ 1 $, e andando a sostituire dà proprio $ 2 $.
p.s. i vari $ \le $ sono da intendere come "interrogativi" e il massimo l'ho trovato per GM-AM sulla coppia $ (x,y) $.
Ultima modifica di Gi. il 02 apr 2013, 12:23, modificato 3 volte in totale.
Re: PreIMO 2005
Sicuro sia il minimo?Gi. ha scritto:e abbiamo finito, perchè il minimo di $ xy $, con la condizione $ x+y=2 $, è $ 1 $
Ps. Lasciando perdere il pezzo seguente, che è una cubica in $z:=xy$..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: PreIMO 2005
Pensavo di aver sbagliato l' approccio e ho ricontrollato venti volte, fino a quando, perdonatemi lo strafalcione, non mi sono accorto che l' unico problema è che $ 1 $ è il massimo, non il minimo
Grazie Jordan.
p.s. ma siamo sicuri funzioni ora?
Grazie Jordan.
p.s. ma siamo sicuri funzioni ora?
Re: PreIMO 2005
Ancora no chi ti assicura è LHS è monotona?Gi. ha scritto:p.s. ma siamo sicuri funzioni ora?
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Re: PreIMO 2005
provo io,anche se è probabile che abbia sbagliato poiche di teoria ne so pochissima
dato che non so cosa significa quel "LHS" riparto da capo cosi da evitare malintesi...
la disuguaglianza di partenza è questa $ \displaystyle x^2y^2(x^2+y^2)\le2 $
come fatto da Gi si arriva ad $ \displaystyle (xy)^2(4-2xy)\le2 $
si raccoglie $ \displaystyle (xy)^2(2-xy)2\le2 $
si divide $ \displaystyle (xy)^2(2-xy)\le1 $
ora dobbiamo massimizzare $ \displaystyle (xy)^2(2-xy) $
questo si massimizza quando i termini sono uguali,notiamo che possiamo riscrivere come...
$ \displaystyle (xy)^2=(2-xy) $ ma anche come $ \displaystyle (xy)(xy)(2-xy) $,ora xy è sicuramente uguale ad xy,quindi $ \displaystyle xy=2-xy $
la cui soluzione è xy=1
quindi anche la disuguaglianza di partenza ha l'uguaglianza solo quando xy=1
ora procedendo a ritroso dovremmo poter dimostrare effettivamente la tesi,se c'è qualche errore o imprecisione(molto probabile) chiedo perdono,ciao
dato che non so cosa significa quel "LHS" riparto da capo cosi da evitare malintesi...
la disuguaglianza di partenza è questa $ \displaystyle x^2y^2(x^2+y^2)\le2 $
come fatto da Gi si arriva ad $ \displaystyle (xy)^2(4-2xy)\le2 $
si raccoglie $ \displaystyle (xy)^2(2-xy)2\le2 $
si divide $ \displaystyle (xy)^2(2-xy)\le1 $
ora dobbiamo massimizzare $ \displaystyle (xy)^2(2-xy) $
questo si massimizza quando i termini sono uguali,notiamo che possiamo riscrivere come...
$ \displaystyle (xy)^2=(2-xy) $ ma anche come $ \displaystyle (xy)(xy)(2-xy) $,ora xy è sicuramente uguale ad xy,quindi $ \displaystyle xy=2-xy $
la cui soluzione è xy=1
quindi anche la disuguaglianza di partenza ha l'uguaglianza solo quando xy=1
ora procedendo a ritroso dovremmo poter dimostrare effettivamente la tesi,se c'è qualche errore o imprecisione(molto probabile) chiedo perdono,ciao
Il problema non è il problema, il problema sei tu.
Re: PreIMO 2005
bon io ho fatto così:per AM-GM ho $ \displaystyle \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy} $ cioè $ \displaystyle 1\geq \sqrt{xy} $ cioè $ \displaystyle 1\geq xy $. riscriviamo allora $ \displaystyle xy=\frac{1}{z} $ con $ z\geq 1 $ . ora possiamo riscrivere il testo come :
$ \displaystyle \frac{1}{z^2}(4-\frac{2}{z})\leq 2 $ cioè $ \displaystyle \frac {4z-2}{z^3}\leq 2 $. dividiamo per $ 2 $ e moltiplichiamo per $ z^3 $ e abbiamo :
$ 2z-1 -z^3\leq 0 $. ora per le condizioni iniziali poniamo $ z=1+k $ con $ k\geq 0 $ e otteniamo $ -k^3-k-3k^2\leq 0 $ che si massimizza per $ k=0 $ cioè $ z=1 $ cioè $ xy=1 $. mo quindi l' $ LHS $ si massimizza per $ xy=1 $ che sostituito dà $ 2\leq 2 $. in tutti gli altri casi il termine a sinistra è minore e quindi la disuguaglianza è dimostrata.
$ \displaystyle \frac{1}{z^2}(4-\frac{2}{z})\leq 2 $ cioè $ \displaystyle \frac {4z-2}{z^3}\leq 2 $. dividiamo per $ 2 $ e moltiplichiamo per $ z^3 $ e abbiamo :
$ 2z-1 -z^3\leq 0 $. ora per le condizioni iniziali poniamo $ z=1+k $ con $ k\geq 0 $ e otteniamo $ -k^3-k-3k^2\leq 0 $ che si massimizza per $ k=0 $ cioè $ z=1 $ cioè $ xy=1 $. mo quindi l' $ LHS $ si massimizza per $ xy=1 $ che sostituito dà $ 2\leq 2 $. in tutti gli altri casi il termine a sinistra è minore e quindi la disuguaglianza è dimostrata.
Re: PreIMO 2005
Faccio un tentativo per dimostrare che il LHS (il membro di sinistra della disequazione) decresce al diminuire di $ xy $, con xy che varia in $ (0,1] $, chiaramente un $ xy $ compreso tra $ 0 $ e $ 1 $ è una frazione, diciamo $ xy=\frac{1}{z} $, allora sostituendo si ha:
$ \displaystyle 2\cdot\frac{1}{z^2}\cdot\frac{2z-1}{z}=\frac{2(2z-1)}{z^3} $
credo che ora sia evidente che all' aumentare di $ z $ la suddetta espressione diminuisce di valore, ma $ z=\frac{1}{xy} $, quindi $ z $ aumenta al diminuire di $ xy $.
Funziona?
$ \displaystyle 2\cdot\frac{1}{z^2}\cdot\frac{2z-1}{z}=\frac{2(2z-1)}{z^3} $
credo che ora sia evidente che all' aumentare di $ z $ la suddetta espressione diminuisce di valore, ma $ z=\frac{1}{xy} $, quindi $ z $ aumenta al diminuire di $ xy $.
Funziona?
Re: PreIMO 2005
Perchè? E' questo il problema..wall98 ha scritto:ora dobbiamo massimizzare $ \displaystyle (xy)^2(2-xy) $
questo si massimizza quando i termini sono uguali
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Re: PreIMO 2005
Bien, questa è corretta.toti96 ha scritto:Ora per le condizioni iniziali poniamo $ z=1+k $ con $ k\geq 0 $ e otteniamo $ -k^3-k-3k^2\leq 0 $ che si massimizza per $ k=0 $
No, non è evidente, a meno che non mi sia perso qualcosa per stradaGi. ha scritto:credo che ora sia evidente che all' aumentare di $ z $ la suddetta espressione diminuisce di valore
Devi mostrare che \[ \frac{2}{z^2}-\frac{1}{z^3} \] è monotona se $z \ge 1$.. come procedi?
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Re: PreIMO 2005
Guarda io ho ragionato cosi..jordan ha scritto:Perchè? E' questo il problema..wall98 ha scritto:ora dobbiamo massimizzare $ \displaystyle (xy)^2(2-xy) $
questo si massimizza quando i termini sono uguali
ho ridotto la disuguaglianza di partenza $ \displaystyle x^2y^2(x^2+y^2)\le2 $ in $ \displaystyle (xy)^2 (2-xy)\le1 $, sempre con la condizione x+y=2
ora il prodotto $ \displaystyle (xy)^2(2-xy) $ deve massimizzarsi e diventare uguale ad 1,e cio è equivalente a diventare uguale a 2 nelle prima disuguaglianza (sono passaggi algebrici,ho solo spostato il problema!e per questo se si massimizza una,si massimizza anche l'altra)
per massimizzare il prodotto i termini devono essere uguali e poi tutto quello che ho scritto ecc.
Il problema non è il problema, il problema sei tu.
Re: PreIMO 2005
Fin qui siamo d'accordo.wall98 ha scritto:ho ridotto la disuguaglianza di partenza $ \displaystyle x^2y^2(x^2+y^2)\le2 $ in $ \displaystyle (xy)^2 (2-xy)\le1 $, sempre con la condizione x+y=2
Ok anche qui.wall98 ha scritto:ora il prodotto $ \displaystyle (xy)^2(2-xy) $ deve massimizzarsi
Dici che affinchè $x^2y^2(2-xy)$ is massimizzi, sotto il vincolo $0\le xy \le 1$, dobbiamo avere $xy=xy=2-xy$.wall98 ha scritto:per massimizzare il prodotto i termini devono essere uguali e poi tutto quello che ho scritto ecc.
Ammesso che questo fatto è vero, perchè deve valere quell'uguaglianza?
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Re: PreIMO 2005
se come hai scritto anche tu le due disuguaglianze sono fondamentalmente la stessa,allora il valore xy che fa massimizzare uno fa massimizzare anche l'altro,jordan ha scritto:Fin qui siamo d'accordo.wall98 ha scritto:ho ridotto la disuguaglianza di partenza $ \displaystyle x^2y^2(x^2+y^2)\le2 $ in $ \displaystyle (xy)^2 (2-xy)\le1 $, sempre con la condizione x+y=2
Dici che affinchè $ x^2y^2(2-xy) $ is massimizzi, sotto il vincolo $ 0\le xy \le 1 $, dobbiamo avere $ xy=xy=2-xy $.wall98 ha scritto:per massimizzare il prodotto i termini devono essere uguali e poi tutto quello che ho scritto ecc.
Ammesso che questo fatto è vero, perchè deve valere quell'uguaglianza?
quindi ho cercato quando la disuguaglianza che ho trovato si massimizza,
e qui ho commesso un grave errore,ho cercato di massimizzare come se $ \displaystyle (xy)^2 (2-xy) $ avesse somma costante,invece bisogna massimizzare la disuguaglianza $ \displaystyle (xy)^2 (2-xy) $ che ha come somma costante $ \displaystyle xy+xy+2-xy=2+xy $ quindi sapendo che piu è grande la somma tra gli addendi piu è grande il loro prodotto,xy deve essere piu grande possibile,cioe $ \displaystyle xy=1 $ (poiche in un prodotto in cui gli addendi hanno somma costante,si ottiene il massimo quando gli addendi sono uguali)quindi ora sappiamo che dobbiamo massimizzare $ \displaystyle (xy)^2(2-xy) $ sapendo che la somma di $ \displaystyle (xy)+(xy)+(2-xy)=3 $,come gia detto il prodotto massimo(con somma costante) si ottiene quando i termini sono uguali tra loro,da cui segue xy=1
e se il massimo è minore di 2,allora anche tutti gli altri possibili valori lo sono.
se non va bene cosi,non so piu che pesci prendere....
Il problema non è il problema, il problema sei tu.
Re: PreIMO 2005
Sì, l'idea così va bene, ma attento a quando scrivi che $xy+xy+2-xy$ ha somma costante, che non è vero; prova a risolvere questo, cosi' vedi a dove volevo arrivare:
"Siano dati $a,b,c$ reali positivi con somma $1$. Quanto vale al massimo $a^2bc$?"
"Siano dati $a,b,c$ reali positivi con somma $1$. Quanto vale al massimo $a^2bc$?"
The only goal of science is the honor of the human spirit.