PreIMO 2005

[toti96]

Dati $ x,y $ reali positivi tali che $ x+y=2 $ dimostrare che :

$ x^2y^2(x^2+y^2)\leq 2 $.(è facile però ha vari approcci ed è carino ).

[Gi.]

E' davvero un PreIMO? Boh, credo di esserci riuscito:

$ (xy)^2((x+y)^2-2xy) \le2 $
$ (xy)^2(4-2xy)\le2 $
$ 4(xy)^2-2(xy)^3 \le 2 $
$ (xy)^2(4-2xy)\le 2 $

e abbiamo finito, perchè il massimo di $ xy $, con la condizione $ x+y=2 $, è $ 1 $, e andando a sostituire dà proprio $ 2 $.

p.s. i vari $ \le $ sono da intendere come "interrogativi" e il massimo l'ho trovato per GM-AM sulla coppia $ (x,y) $.

[jordan]

e abbiamo finito, perchè il minimo di $ xy $, con la condizione $ x+y=2 $, è $ 1 $

Sicuro sia il minimo?

Ps. Lasciando perdere il pezzo seguente, che è una cubica in $z:=xy$..

[Gi.]

Pensavo di aver sbagliato l' approccio e ho ricontrollato venti volte, fino a quando, perdonatemi lo strafalcione, non mi sono accorto che l' unico problema è che $ 1 $ è il massimo, non il minimo
Grazie Jordan.

p.s. ma siamo sicuri funzioni ora?

[jordan]

p.s. ma siamo sicuri funzioni ora?

Ancora no chi ti assicura è LHS è monotona?

[wall98]

provo io,anche se è probabile che abbia sbagliato poiche di teoria ne so pochissima
dato che non so cosa significa quel "LHS" riparto da capo cosi da evitare malintesi...
la disuguaglianza di partenza è questa $ \displaystyle x^2y^2(x^2+y^2)\le2 $
come fatto da Gi si arriva ad $ \displaystyle (xy)^2(4-2xy)\le2 $
si raccoglie $ \displaystyle (xy)^2(2-xy)2\le2 $
si divide $ \displaystyle (xy)^2(2-xy)\le1 $
ora dobbiamo massimizzare $ \displaystyle (xy)^2(2-xy) $
questo si massimizza quando i termini sono uguali,notiamo che possiamo riscrivere come...
$ \displaystyle (xy)^2=(2-xy) $ ma anche come $ \displaystyle (xy)(xy)(2-xy) $,ora xy è sicuramente uguale ad xy,quindi $ \displaystyle xy=2-xy $
la cui soluzione è xy=1
quindi anche la disuguaglianza di partenza ha l'uguaglianza solo quando xy=1
ora procedendo a ritroso dovremmo poter dimostrare effettivamente la tesi,se c'è qualche errore o imprecisione(molto probabile) chiedo perdono,ciao

[toti96]

bon io ho fatto così:per AM-GM ho $ \displaystyle \frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy} $ cioè $ \displaystyle 1\geq \sqrt{xy} $ cioè $ \displaystyle 1\geq xy $. riscriviamo allora $ \displaystyle xy=\frac{1}{z} $ con $ z\geq 1 $ . ora possiamo riscrivere il testo come :
$ \displaystyle \frac{1}{z^2}(4-\frac{2}{z})\leq 2 $ cioè $ \displaystyle \frac {4z-2}{z^3}\leq 2 $. dividiamo per $ 2 $ e moltiplichiamo per $ z^3 $ e abbiamo :

$ 2z-1 -z^3\leq 0 $. ora per le condizioni iniziali poniamo $ z=1+k $ con $ k\geq 0 $ e otteniamo $ -k^3-k-3k^2\leq 0 $ che si massimizza per $ k=0 $ cioè $ z=1 $ cioè $ xy=1 $. mo quindi l' $ LHS $ si massimizza per $ xy=1 $ che sostituito dà $ 2\leq 2 $. in tutti gli altri casi il termine a sinistra è minore e quindi la disuguaglianza è dimostrata.

[wall98]

quindi è giusto??

[Gi.]

Faccio un tentativo per dimostrare che il LHS (il membro di sinistra della disequazione) decresce al diminuire di $ xy $, con xy che varia in $ (0,1] $, chiaramente un $ xy $ compreso tra $ 0 $ e $ 1 $ è una frazione, diciamo $ xy=\frac{1}{z} $, allora sostituendo si ha:

$ \displaystyle 2\cdot\frac{1}{z^2}\cdot\frac{2z-1}{z}=\frac{2(2z-1)}{z^3} $

credo che ora sia evidente che all' aumentare di $ z $ la suddetta espressione diminuisce di valore, ma $ z=\frac{1}{xy} $, quindi $ z $ aumenta al diminuire di $ xy $.

Funziona?

[jordan]

ora dobbiamo massimizzare $ \displaystyle (xy)^2(2-xy) $
questo si massimizza quando i termini sono uguali

Perchè? E' questo il problema..

[jordan]

Ora per le condizioni iniziali poniamo $ z=1+k $ con $ k\geq 0 $ e otteniamo $ -k^3-k-3k^2\leq 0 $ che si massimizza per $ k=0 $

Bien, questa è corretta.

credo che ora sia evidente che all' aumentare di $ z $ la suddetta espressione diminuisce di valore

No, non è evidente, a meno che non mi sia perso qualcosa per strada

Devi mostrare che \[ \frac{2}{z^2}-\frac{1}{z^3} \] è monotona se $z \ge 1$.. come procedi?

[wall98]

ora dobbiamo massimizzare $ \displaystyle (xy)^2(2-xy) $
questo si massimizza quando i termini sono uguali

Perchè? E' questo il problema..

Guarda io ho ragionato cosi..
ho ridotto la disuguaglianza di partenza $ \displaystyle x^2y^2(x^2+y^2)\le2 $ in $ \displaystyle (xy)^2 (2-xy)\le1 $, sempre con la condizione x+y=2

ora il prodotto $ \displaystyle (xy)^2(2-xy) $ deve massimizzarsi e diventare uguale ad 1,e cio è equivalente a diventare uguale a 2 nelle prima disuguaglianza (sono passaggi algebrici,ho solo spostato il problema!e per questo se si massimizza una,si massimizza anche l'altra)
per massimizzare il prodotto i termini devono essere uguali e poi tutto quello che ho scritto ecc.

[jordan]

ho ridotto la disuguaglianza di partenza $ \displaystyle x^2y^2(x^2+y^2)\le2 $ in $ \displaystyle (xy)^2 (2-xy)\le1 $, sempre con la condizione x+y=2

Fin qui siamo d'accordo.

ora il prodotto $ \displaystyle (xy)^2(2-xy) $ deve massimizzarsi

Ok anche qui.

per massimizzare il prodotto i termini devono essere uguali e poi tutto quello che ho scritto ecc.

Dici che affinchè $x^2y^2(2-xy)$ is massimizzi, sotto il vincolo $0\le xy \le 1$, dobbiamo avere $xy=xy=2-xy$.

Ammesso che questo fatto è vero, perchè deve valere quell'uguaglianza?

[wall98]

ho ridotto la disuguaglianza di partenza $ \displaystyle x^2y^2(x^2+y^2)\le2 $ in $ \displaystyle (xy)^2 (2-xy)\le1 $, sempre con la condizione x+y=2

Fin qui siamo d'accordo.

per massimizzare il prodotto i termini devono essere uguali e poi tutto quello che ho scritto ecc.

Dici che affinchè $ x^2y^2(2-xy) $ is massimizzi, sotto il vincolo $ 0\le xy \le 1 $, dobbiamo avere $ xy=xy=2-xy $.
Ammesso che questo fatto è vero, perchè deve valere quell'uguaglianza?

se come hai scritto anche tu le due disuguaglianze sono fondamentalmente la stessa,allora il valore xy che fa massimizzare uno fa massimizzare anche l'altro,
quindi ho cercato quando la disuguaglianza che ho trovato si massimizza,
e qui ho commesso un grave errore,ho cercato di massimizzare come se $ \displaystyle (xy)^2 (2-xy) $ avesse somma costante,invece bisogna massimizzare la disuguaglianza $ \displaystyle (xy)^2 (2-xy) $ che ha come somma costante $ \displaystyle xy+xy+2-xy=2+xy $ quindi sapendo che piu è grande la somma tra gli addendi piu è grande il loro prodotto,xy deve essere piu grande possibile,cioe $ \displaystyle xy=1 $ (poiche in un prodotto in cui gli addendi hanno somma costante,si ottiene il massimo quando gli addendi sono uguali)quindi ora sappiamo che dobbiamo massimizzare $ \displaystyle (xy)^2(2-xy) $ sapendo che la somma di $ \displaystyle (xy)+(xy)+(2-xy)=3 $,come gia detto il prodotto massimo(con somma costante) si ottiene quando i termini sono uguali tra loro,da cui segue xy=1
e se il massimo è minore di 2,allora anche tutti gli altri possibili valori lo sono.
se non va bene cosi,non so piu che pesci prendere....

[jordan]

Sì, l'idea così va bene, ma attento a quando scrivi che $xy+xy+2-xy$ ha somma costante, che non è vero; prova a risolvere questo, cosi' vedi a dove volevo arrivare:

"Siano dati $a,b,c$ reali positivi con somma $1$. Quanto vale al massimo $a^2bc$?"