[tex]x: (x-1)(x+1)^{2012}=1[/tex]

[_Ipazia_]

Sia x un numero reale maggiore di 1 tale che $ (x − 1)(x + 1)^{2012} = 1 $. Allora:
a) $ 1 < x < 1 + \frac{1}{3^{2012}} $
b) $ 1 + \frac{1}{3^{2012}} < x < 1 + \frac{1}{2^{2012}} $
c) $ 1 + \frac{1}{2^{2012}} < x < 1 + \frac{1}{3} $
d) $ 1 + \frac{1}{3} < x < 1 + \frac{1}{2} $
e) $ x>2 $

E' un problema dei giochi di archimede 2012... ho visto anche la soluzione ma non riesco proprio a capirla Qualcuno mi può aiutare?

[simone256]

Hahaha! E' l'unico che ho sbagliato quest'anno

Provo a buttare lì una soluzione...
Notiamo che la funzione è strettamente crescente per $ x>1 $; quindi se verifichiamo che $ f(x_1)<1<f(x_2) $ allora $ x_1<x<x_2 $.
Se provi a fare i calcoli noti che $ f(1 + \frac{1}{3^{2012}}) < 1 < f(1 + \frac{1}{2^{2012}}) $; il che ti indurrà a scegliere l'opzione b)
La cosa divertente... E' che io ai giochi l'ho fatto così... Ma la parte

fare i calcoli

l' ho "clamorosamente" mandata a farsi......... Ecco ci siam capiti!

[_Ipazia_]

Notiamo che la funzione è strettamente crescente per $ x>1 $; quindi se verifichiamo che $ f(x_1)<1<f(x_2) $

Sto scoprendo di avere un enorme buco su queste cose ... non capisco il crescente e quel "quindi".. non è che mi potresti spiegare o meglio consigliarmi dove andare a vedere per bene tutto quanto?

Se provi a fare i calcoli noti che $ f(1 + \frac{1}{3^{2012}}) < 1 < f(1 + \frac{1}{2^{2012}}) $; il che ti indurrà a scegliere l'opzione b)

Intendi provando a fare i calcoli a partire dalle soluzioni? perchè io ho fatto così e qualcosa mi è venuto ma credo che ci sia un modo migliore..

Grazie per il disturbo comunque

[simone256]

Sto scoprendo di avere un enorme buco su queste cose ... non capisco il crescente e quel "quindi".. non è che mi potresti spiegare o meglio consigliarmi dove andare a vedere per bene tutto quanto?

No beh guarda io per ora conosco le funzioni come me le hanno insegnate a scuola e sono al tuo stesso anno quindi non è nulla di che... Poi mi sono spiegato male (e nulla esclude che io abbia sbagliato )
Allora... Considera la funzione $ f(x)=(x-1)(x+1)^{2012} $.
Se $ x>1 $ noti che il primo fattore cresce al crescere di $ x $ e che il secondo fattore cresce (ed è $ >1 $) quindi la sua duemiladodicesima potenza sarà anchessa crescente al crescere di $ x $.
Quindi se $ x_2>x_1>1 $ sarai d'accordo con me che $ f(x_2)>f(x_1) $.
Chiamiamo $ x_i $ la nostra incognita, allora $ f(x_i)=1 $;
Da qui si arriva a dire quello che ho detto! Cioè che se verifichiamo che $ f(x_1)<1<f(x_2) $ allora $ x_1<x_i<x_2 $.

Intendi provando a fare i calcoli a partire dalle soluzioni? perchè io ho fatto così e qualcosa mi è venuto ma credo che ci sia un modo migliore..

Eh si di sicuro...
Magari qualcuno più bravo di me risponderà a questa domanda

[ndp15]

Una funzione si dice crescente se $ x_1 < x_2 $ implica $ f(x_1) < f(x_2) $
Ora, notando che quella funzione è crescente in $ [1,+\infty) $, cioè per tutti gli $ x\ge 1 $ , ottieni che se $ f(1 + \frac{1}{3^{2012}}) < 1 $ e $ f(1 + \frac{1}{2^{2012}})>1 $ allora la soluzione dovrà trovarsi proprio in questo intervallo perché per gli $ x $ tali che $ x<1 + \frac{1}{3^{2012}} $ hai $ f(x)<f(1 + \frac{1}{3^{2012}}) < 1 $ e per gli $ x $ tali che $ x>1 + \frac{1}{2^{2012}} $ hai $ f(x)>f(1 + \frac{1}{2^{2012}})>1 $.
Ora sarebbe istruttivo che qualcuno mostrasse i conti perché sono la parte più difficile dell'esercizio.

[_Ipazia_]

Ok grazie mille ho capito quella cosa del crescente

Eh si di sicuro...

Questo mi tranquillizza, credevo di aver tralasciato qualcosa di importante

[Tess]

Nell'attesa che qualcuno faccia i conti, spiego come si poteva risolvere l'esercizio senza accorgersi che $f$ era crescente, ma "solo" manipolando un poco l'espressione.
Prima di tutto uno nota che l'incognita $x_0$ deve essere maggiore di 1, altrimenti $f(x_0)$ è negativa e minore di 2 altrimenti $x_0-1$ e $x_0+1$ sono entrambi maggiori di uno, allora $f(x_0)$ sarebbe maggiore di 1. E queste sono considerazioni molto stupide!
Ora, con un po' di manipolazione, seguendo l'idea che $(x+1)^{2012}$ cresce molto anche con la più piccola variazione di $x$, si scrive $x-1=(x+1)^{-2012}$, $x=1+(x+1)^{-2012}$. Ora la disuguaglianza $1<x_0<2$ diventa $2<x_0+1<3$, $2^{2012}<(x_0+1)^{2012}<3^{2012}$, $2^{-2012}>(x_0+1)^{-2012}>3^{-2012}$, $1+2^{-2012}>1+(x_0+1)^{-2012}>1+3^{-2012}$, cioè $1+3^{-2012}<x_0<1+2^{-2012}$, cioè quel che volevamo!

[_Ipazia_]

Dimostro che $ f(1+\frac{1}{2^{2012}})>1 $:
$ f(1+\frac{1}{2^{2012}})=\frac{1}{2^{2012}}(\frac{1+2^{2013}}{2^{2012}})^{2012} $
Ignorando il +1 al numeratore della seconda frazione, viene:
$ \frac{2^{4050156}}{2^{4050156}}=1 $
Ma, considerando anche quell'1, il numeratore sarebbe venuto maggiore e quindi la frazione maggiore di 1
Per l'altra parte dei calcoli invece mi viene un po' più difficile...