Esercizio sul principio di induzione

Cosa sono il pigeonhole e l'induzione? Cosa dice il teorema di Ceva? 1 è un numero primo?
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_Ipazia_
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Esercizio sul principio di induzione

Messaggio da _Ipazia_ » 24 feb 2013, 16:19

Dimostrare per induzione che $ n^2>10n $ per $ n $ grandi.
Io ho fatto:
L'ho verificato per $ n=11 $:
$ 121>110 $
Poi, assumendo come ipotesi $ n^2>10n $, ho sostituito $ n+1 $ a $ n $, per poter così verificare che valga per qualsiasi numero.
$ (n+1)^2>10*(n+1) --> n^2+2n+1>10n+10 $
E ora come faccio? So usare il principio di induzione per equazioni.. è il maggiore il problema, e anche che non deve valere per qualsiasi n, ma per n "grandi" :(
Grazie in anticipo :)
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EvaristeG
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Re: Esercizio sul principio di induzione

Messaggio da EvaristeG » 24 feb 2013, 16:24

Intanto scrivere così è fuorviante...
Tu ASSUMI che sia vero che $n^2>10n$. Vuoi dimostrare la stessa cosa con $n+1$ al posto di $n$; comincia a scrivere ad esempio il membro sinistro:
$$(n+1)^2=n^2+2n+1$$
e per l'ipotesi che hai assunto, $n^2>10n$, quindi
$$n^2+2n+1>10n+2n+1$$
Ora tu vorresti dire che l'ultima parte è maggiore di $10n+10$, ma infatti, se $n>10$, allora $2n+1>21>10$, quindi
$$10n+2n+1>10n+10$$
e dunque mettendo tutto insieme
$$(n+1)^2=n^2+2n+1>10n+2n+1>10n+10=10(n+1).$$

Poi, nel futuro ti consiglio di usare la funzione cerca del forum:
1
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_Ipazia_
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Re: Esercizio sul principio di induzione

Messaggio da _Ipazia_ » 24 feb 2013, 16:39

Grazie mille ho capito!
per "assumere" volevo dire che una volta dimostrato che se vale per $ n $ vale anche per $ n+1 $, allora se vale per 11 (facendo i calcoli), allora vale per tutti i numeri naturali, solo che non riuscivo a dimostrare che valeva per $ n+1 $ . Grazie ancora!
Si, avevo visto gli altri esempi sull'induzione, ma fare un esercizio (questo) da sola non ci riuscivo..
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Re: Esercizio sul principio di induzione

Messaggio da EvaristeG » 24 feb 2013, 17:25

Io non stavo contestando l'uso del verbo assumere, mi preoccupavo di dirti che devi scrivere in modo diverso le uguaglianze che prendi per vere da quelle che vuoi dimostrare.

_Ipazia_
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Re: Esercizio sul principio di induzione

Messaggio da _Ipazia_ » 24 feb 2013, 17:40

ah si terrò presente, sono ancora molto poco pratica con queste cose
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jordan
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Re: Esercizio sul principio di induzione

Messaggio da jordan » 24 feb 2013, 19:20

EvaristeG ha scritto:Ora tu vorresti dire che l'ultima parte è maggiore di $10n+10$..
E' sufficiente maggiore o uguale..
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