140. Un simpatico problema indiano

[Ido Bovski]

Siano $b, m, n$ interi positivi tali che $b>1$ e $m\neq n$. Dimostrare che se $b^m-1$ e $b^n-1$ hanno gli stessi divisori primi, allora $b+1$ è una potenza di $2$.

ps. spero non sia troppo noto...

[kalu]

Siano $n=kx, m=ky$ con $(x,y)=1$, $ x>y $; $t=b^k.$
Supponiamo $p$ primo dispari tale che $p\mid t^{x}-1 \to p\mid t^{y}-1 \to p\mid t-1.$ Per LTE $ v_p(t^x-1)=v_p(t-1)+v_p(x) $.
Inoltre, se $2\mid t^x-1$, $v_2(t^x-1)=v_2(t^2-1)+v_2(x)-1$.
Quindi $t^x-1\mid x(t^2-1) \to t^x< xt^2 \to t^{x-2}< x$.
Se $x=3$ allora $t=2$, ma si vede a mano che non va bene.
Se $x>3$ si ha che $1<t<x^{\frac{1}{x-2}}\leq 2$ (GM-AM facile): assurdo.
Quindi $x=2, y=1$.
Dato che $t^2-1$ ha gli stessi fattori primi di $t-1$, $t+1$ non può avere fattori primi dispari.
Allora $b^k+1=2^{\gamma}$ per qualche $\gamma\geq 2$, quindi $4\mid b^k+1$, quindi $k$ è dispari, quindi $b+1\mid b^k+1$, quindi $b+1$ è potenza di $ 2 $.

[Ido Bovski]

Giusto
Mi ero già preparato per una Zsigmondy cannonata, ma non è arrivata

[Triarii]

Siano $n=kx, m=ky$ con $(x,y)=1$, $ x>y $; $t=b^k.$
Supponiamo $p$ primo dispari tale che $p\mid t^{x}-1 \to p\mid t^{y}-1 \to p\mid t-1.$
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Scusate ma non ho ben capito questo passaggio... Se qualcuno avesse la voglia di spiegarmelo ne sarei molto grato

[kalu]

Siano $n=kx, m=ky$ con $(x,y)=1$, $ x>y $; $t=b^k.$
Supponiamo $p$ primo dispari tale che $p\mid t^{x}-1 \to p\mid t^{y}-1 \to p\mid t-1.$
.

Scusate ma non ho ben capito questo passaggio... Se qualcuno avesse la voglia di spiegarmelo ne sarei molto grato

Ma certo Abbiamo supposto che $p$ sia un fattore primo (dispari) di $ t^{x}-1 $, quindi per ipotesi lo è anche di $ t^y-1 $.
Perciò $ ord_p(t)\mid x $, e anche $ ord_p(t)\mid y $. Ma $ (x,y)=1 $, quindi $ ord_p(t)=1 $. Ecco perchè $ p\mid t-1 $

[Triarii]

Grazie mille, non mi era venuto in mente che la cosa fosse vera per un discorso di ordini, ora è tutto molto più chiaro