Non dubito che sia arcinoto, ma io me ne sono accorto ora: $$\sum_{i\in N}\frac{i}{(i+1)!}=1$$
Dimostratelo!
$\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$
$\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$
Pota gnari!
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Troleito br00tal
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Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$
Ma hai trovato una soluzione combinatorica? Perché io ne ho trovata una ma non mi sembra molto adatta alla sezione e in caso lascio fare ai meno esperti (non perché io sia esperto, ma perché mi è venuto facile, quindi boh, non spoilero).
Comunque si vede che non ti piace la combinatoria
Comunque si vede che non ti piace la combinatoria
Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$
Pensavo a qualcosa tipo power series, ma con due minuti "la vedi col binocolo"
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$
Ahah xD Anch'io ho una soluzione per induzione molto semplice, più una soluzione combinatorica assurda!Troleito br00tal ha scritto:Ma hai trovato una soluzione combinatorica? Perché io ne ho trovata una ma non mi sembra molto adatta alla sezione e in caso lascio fare ai meno esperti (non perché io sia esperto, ma perché mi è venuto facile, quindi boh, non spoilero).
Comunque si vede che non ti piace la combinatoria
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Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$
Allora, riscriviamo come $ \displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\dfrac{(n+1)-1}{(n+1)!}=\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{n!}-\dfrac{1}{(n+1)!}\right)=1 $ poichè la serie è telescopica, quindi rimane solo il termine $ 1 $.
« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$
Va bene era ufficilamente una sciocchezza 
La mia induzione era su $n$ per $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac{i}{(i+1)!}}=1-\frac{1}{(n+1)!} $, mentre della soluzione combinatorica è meglio che non parli xD
Vorrà dire che la prossima volta che penso di aver trovato qualcosa di carino prima di dirlo controllerò due volte che non sia una banalità
La mia induzione era su $n$ per $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac{i}{(i+1)!}}=1-\frac{1}{(n+1)!} $, mentre della soluzione combinatorica è meglio che non parli xD
Vorrà dire che la prossima volta che penso di aver trovato qualcosa di carino prima di dirlo controllerò due volte che non sia una banalità
Ultima modifica di kalu il 14 gen 2013, 22:38, modificato 1 volta in totale.
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Troleito br00tal
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Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$
"Faccela vedè, faccela toccà"
La soluzione combinatorica.
La soluzione combinatorica.
Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$
A grande richiesta, la soluzione combinatorica:
Fissato $n$, per ogni $1\leq k < n$ sia $ T_k $ l'insieme delle permutazioni $ \tau $ di {1, 2, ..., $ n $} tali $ \tau(i)>\tau(j) \ \forall \ 1\leq i<j\leq k $, $ \tau(k+1)>\tau(k) $. Si dimostra che $ \displaystyle |T_k|=\frac{n!k}{(k+1)!} $.
I $ T_i $ sono tutti disgiunti e la loro unione ha cardinalità $n!-1$, perchè l'unica permutazione che non rientra in nessun $T_i$ è l'identica.
Quindi $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}{\frac{n!k}{(k+1)!}}=n!-1 $. Dividendo per $ n! $ e portando al limite si ha la tesi. xD
Fissato $n$, per ogni $1\leq k < n$ sia $ T_k $ l'insieme delle permutazioni $ \tau $ di {1, 2, ..., $ n $} tali $ \tau(i)>\tau(j) \ \forall \ 1\leq i<j\leq k $, $ \tau(k+1)>\tau(k) $. Si dimostra che $ \displaystyle |T_k|=\frac{n!k}{(k+1)!} $.
I $ T_i $ sono tutti disgiunti e la loro unione ha cardinalità $n!-1$, perchè l'unica permutazione che non rientra in nessun $T_i$ è l'identica.
Quindi $ \displaystyle \sum_{i=1}^{n-1}{\frac{n!k}{(k+1)!}}=n!-1 $. Dividendo per $ n! $ e portando al limite si ha la tesi. xD
Pota gnari!
Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$
Non ci sarei mai arrivato 
.
.« Due cose hanno soddisfatto la mia mente con nuova e crescente ammirazione e soggezione e hanno occupato persistentemente il mio pensiero: il cielo stellato sopra di me e la legge morale dentro di me. »
Re: $\sum{\frac{i}{(i+1)!}}=1$
Solo un "piccolo" appunto: bisogna fare attenzione quando si parla di telescopizzare una somma infinita... 
Esempio: $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty2^i=1+2+4+8+\dots=(2-1)+(4-2)+(8-4)+\dots=\sum_{i=0}^\infty2^{i+1}-2^i$ che secondo il tuo ragionamento si dovrebbe telescopizzare a... -1!!!
Dov'è il trucco/l'errore? E' nel fatto che quando si ha a che fare con l'infinito si deve ragionare in termini di limiti. Nell'esempio, si dovrebbe "definire" $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty2^i=1+2+4+8+\dots$ come $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n2^i$. Telescopizzando quest'ultima si arriva alla nota identità $\sum_{i=0}^n2^i=2^{n+1}-1$. Ora, bisogna far tendere $n$ ad infinito e quindi si vede che cresce esponenzialmente, altro che convergere a -1! Questo perchè nel telescopizzare si tralasciava un termine grosso.
Invece nell'esercizio di questo topic la somma si telescopizza come $\displaystyle1-\frac1{(n+1)!}$, il cui termine con la $n$ diventa infinitamente piccolo.
Boh, fine di questo "excursus formale", ma neanche poi così tanto...
Esempio: $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty2^i=1+2+4+8+\dots=(2-1)+(4-2)+(8-4)+\dots=\sum_{i=0}^\infty2^{i+1}-2^i$ che secondo il tuo ragionamento si dovrebbe telescopizzare a... -1!!!
Dov'è il trucco/l'errore? E' nel fatto che quando si ha a che fare con l'infinito si deve ragionare in termini di limiti. Nell'esempio, si dovrebbe "definire" $\displaystyle\sum_{i=0}^\infty2^i=1+2+4+8+\dots$ come $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^n2^i$. Telescopizzando quest'ultima si arriva alla nota identità $\sum_{i=0}^n2^i=2^{n+1}-1$. Ora, bisogna far tendere $n$ ad infinito e quindi si vede che cresce esponenzialmente, altro che convergere a -1! Questo perchè nel telescopizzare si tralasciava un termine grosso.
Invece nell'esercizio di questo topic la somma si telescopizza come $\displaystyle1-\frac1{(n+1)!}$, il cui termine con la $n$ diventa infinitamente piccolo.
Boh, fine di questo "excursus formale", ma neanche poi così tanto...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)