Interi consecutivi

[Gi.]

Rispolverando l' Archimede del '96 mi è venuta in mente una facilissima variante del primo esercizio:

Dati cinque interi consecutivi cosa si può dire della cifra delle unità della loro somma?

[toti96]

credo si possa dire che è la cifra delle unità di $ 5n $, detti $ n,n+1,n+2,n+3,n+4 $ i 5 interi consecutivi.infatti se li sommo ottengo $ 5n+10 $ e quindi la cifra delle unità dovrebbe essere uguale a quella di $ 5n $ per cui o è $ 5 $ o $ 0 $

[Gi.]

Giusto!
Volendo possiamo migliorare il risultato dividendo in due casi:

a) Se il primo intero è pari allora la cifra delle unità della somma dei cinque interi è 0,infatti:

$ 2k +(2k+1)+(2k+2)+(2k+3)+(2k+4)= 10k+10=10(k+1) $

è divisibile per 10, quindi l' ultima cifra è 0.

b) Se il primo intero è dispari allora la cifra delle unità della somma dei cinque interi è 5, infatti:

$ (2k+1)+(2k+2)+(2k+3)+(2k+4)+(2k+5)= 10k+15= 5(2k+3)=5D $

dove con D indico un numero qualunque dispari ($ \ge 3 $), 5 moltiplicato per un numero dispari ha come cifra delle unità sempre 5.

[jordan]

Problema: Dato un intero dispari $n\ge 1$ e una base $b\ge 2$, trovare tutte le cifrà dell'unità che puo' assumere una somma di $n$ interi consecutivi in base $b$.

Soluzione: Definito $f_n(x)=\sum_{i=-n/2}^{n/2}(x+i)$, vale $f_n(0)=0$, e $f_n(x+1)-f_n(n)=n$ per ogni $x$ intero e fissata una base $b\ge 2$, la sequenza dei residui $\{f_n(x)\}_{x \in \mathbb{Z}}$ in $\{0,1,\ldots,b-1\}$ è pari alla sequenza dei residui di $\{0+nx\}_{x \in \mathbb{Z}}$. Sia $d:=\text{gcd}(n,b)$ allora è equivalente a trovare la sequenza dei residui di $d\{nd^{-1}x\}_{x \in \mathbb{Z}}$, ma ora $\text{gcd}(nd^{-1},bd^{-1})=1$ per cui i residui sono tutti e i soli interi della forma $dy$ con $y=0,1,\ldots,\lfloor (b-1)d^{-1} \rfloor$. []