$k2^{\lfloor n^{\varepsilon} \rfloor}=(2a+1)^n+(2b+1)^n$

[jordan]

Own. Fissato un reale $\varepsilon>0$, mostrare che l'equazione $k2^{\lfloor n^{\varepsilon} \rfloor}=(2a+1)^n+(2b+1)^n$ ha un numero finito di soluzioni $(k,n)$ negli interi positivi, una volta fissati gli interi positivi $a,b$.

Corollario: Fissati $k_1,k_2$ interi positivi dispari, esiste un numero finito di $n \in \mathbb{N}$ tali che $2^{\varphi(n)} \mid k_1^n+k_2^n$.

[kalu]

Chiamiamo $2a+1=\alpha$ e $2b+1=\beta$
Se $n$ è dispari $$v_2(\alpha^n+\beta^n)=v_2(\alpha+\beta)+v_2\biggl(\ \sum_{i=0}^{n-1}{(-1)^i\alpha^i\beta^{n-1-i}}\biggl)=v_2(\alpha+\beta)$$ dato che la sommatoria [edit] è dispari.
Se $n$ è pari $ \alpha^n+\beta^n \equiv 2 \pmod{4} \to v_2(\alpha^n+\beta^n)=1 $
Quindi, in ogni caso, per $n$ sufficientemente grande, ${\lfloor n^{\varepsilon}\rfloor}>v_2(\alpha^n+\beta^n)$, da cui segue la tesi.

[jordan]

Il che mostra addirittura che $\upsilon_2(\alpha^n+\beta^n)=\mathcal{O}(1)$, bien!

Corollario: esiste solo un numero finito di $n \in \mathbb{N}$ tali che, fissati $a_1,a_2 \in \mathbb{N}$: \[ \left(a_1+\frac{1}{2}\right)^n+\left(a_2+\frac{1}{2}\right)^n \in \mathbb{N} \]


Edit: sì, è una sommatoria

[Ido Bovski]

$\displaystyle v_2\biggl(\ \prod_{i=0}^{n-1}{(-1)^i\alpha^i\beta^{n-1-i}}\biggl)$

Non dovrebbe esserci una sommatoria qui, anzichè la produttoria?

[kalu]

Si, scusate.. ho editato