Per $a+b >0$, dimostrare che
$$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2} \geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$
Somma maggiore di zero
Somma maggiore di zero
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Somma maggiore di zero
C'è qualche soluzione sorpredente? Perchè pare si risolve con un solo $x^2 \ge 0$..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Somma maggiore di zero
nono è molto semplice 
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Somma maggiore di zero
ci provo.riscrivo come:
$ \displaystyle \frac{a^3+b^3}{a^2b^2} \geq \frac {a+b}{ab} $. supponiamo qui $ ab>0 $ e moltiplichiamo quindi entrambi i termini per $ ab $. otteniamo:
$ \displaystyle \frac{(a+b)(a^2+b^2-ab)}{ab} \geq a+b $. dividiamo a questo punto per $ a+b $ e riscriviamo come: $ \displaystyle \frac {(a^2+b^2-ab)}{ab} \geq 1 $. si giunge quindi a $ \displaystyle \frac {(a-b)^2}{ab} \geq 0 $ per le supposizioni sopra sempre vero. d'altro canto con $ ab<0 $ riscriviamo $ \displaystyle\frac {(a-b)^2}{ab} \leq 0 $ sempre vero in quanto ogni quadrato nei reali è maggiore o uguale a zero..
$ \displaystyle \frac{a^3+b^3}{a^2b^2} \geq \frac {a+b}{ab} $. supponiamo qui $ ab>0 $ e moltiplichiamo quindi entrambi i termini per $ ab $. otteniamo:
$ \displaystyle \frac{(a+b)(a^2+b^2-ab)}{ab} \geq a+b $. dividiamo a questo punto per $ a+b $ e riscriviamo come: $ \displaystyle \frac {(a^2+b^2-ab)}{ab} \geq 1 $. si giunge quindi a $ \displaystyle \frac {(a-b)^2}{ab} \geq 0 $ per le supposizioni sopra sempre vero. d'altro canto con $ ab<0 $ riscriviamo $ \displaystyle\frac {(a-b)^2}{ab} \leq 0 $ sempre vero in quanto ogni quadrato nei reali è maggiore o uguale a zero..
Ultima modifica di toti96 il 11 gen 2013, 22:32, modificato 1 volta in totale.
Re: Somma maggiore di zero
E se tu moltiplicassi per $a^2b^2$ ? 
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Somma maggiore di zero
giusto è più semplice e la cosa si trasforma in un ancor più banale $ (a-b)^2 \geq 0 $ senza dover fare i due casi..effettivamente mi sembrava strano non aver sbagliato nulla (non per la difficoltà dell'esercizio che in sè era facile ma per la mia certa probabilisticamente tendenza a sbagliare) XD in ogni caso anche se inutilmente più lunga anche la mia potrebbe andar bene o è proprio errata??
Re: Somma maggiore di zero
Premetto che è la prima volta che mi cimento in esercizi simili, quindi potrei aver commesso gravi errori, o non aver rispettato in modo completo la consegna.
Risolvendo ottengo:
$ \frac{(a+b)(a-b)^2} {a^2 b^2} $ >= 0
A questo punto analizzo numeratore e denominatore e trovo:
per a=b la disuguaglianza è vera, e trovo un identità
per a e b diversi, maggiori di zero, la disuguaglianza è valida, ottenendo il primo termine maggiore del secondo.
Risolvendo ottengo:
$ \frac{(a+b)(a-b)^2} {a^2 b^2} $ >= 0
A questo punto analizzo numeratore e denominatore e trovo:
per a=b la disuguaglianza è vera, e trovo un identità
per a e b diversi, maggiori di zero, la disuguaglianza è valida, ottenendo il primo termine maggiore del secondo.
Re: Somma maggiore di zero
Giusto, solo un piccolo particolare (a parte il "risolvendo": in realtà hai solo fatto un paio di conti...)
In realtà non è perchè $a>0$ e $b>0$ (e sarebbe sbagliato assumerlo), ma perchè $a+b>0$ per ipotesi...Festy95 ha scritto:per a e b diversi, maggiori di zero, la disuguaglianza è valida, ottenendo il primo termine maggiore del secondo.
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Somma maggiore di zero
Si, nel calcolo avevo tenuto conto dell'ipotesi. Per il risolvendo, mi sfuggivano altri termini:)