Alle poste
Alle poste
Un postino imbusta a caso $n$ lettere in $n$ buste. Su ogni busta è già segnato il destinatario e ovviamente anche ad ogni lettera corrisponde un solo destinatario possibile.
Qual'è la probabilità che il postino metta ogni lettera nella busta sbagliata ? Se il numero di lettere e buste tende ad infinito, a quanto tende la probabilità ?
Qual'è la probabilità che il postino metta ogni lettera nella busta sbagliata ? Se il numero di lettere e buste tende ad infinito, a quanto tende la probabilità ?
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Alle poste
Stai leggendo enumerative combinatorics?
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Alle poste
u.u No, solo ieri sera stavo cercando di prendere sonno e mi sono ricordato di quando in seconda liceo guardai un video di Gobbino in cui veniva posto questo problema, l'ho risolto, è uscita una cosa carina e mi sono addormentato.
Ne approfitto per chiedere ai novizi di farsi avanti perchè è un problema davvero carino ed istruttivo
Ne approfitto per chiedere ai novizi di farsi avanti perchè è un problema davvero carino ed istruttivo
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Alle poste
Si', anche abbastanza facile, data la definizione di qualche "vocale"Mist ha scritto:Ne approfitto per chiedere ai novizi di farsi avanti perchè è un problema davvero carino ed istruttivo
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Alle poste
mi sembra troppo semplice e non capisco nulla di combinatoria ma non dovrebbe essere $ \frac {(n-1)!}{n!} $ cioè praticamente $ \frac {1}{n} $ ??quindi con $ n $ tendente a infinito la probabilità dovrebbe tendere a zero..
Re: Alle poste
Perchè?toti96 ha scritto:dovrebbe essere $ \frac {(n-1)!}{n!} $ ..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Alle poste
per la prima lettera che imbuca ha $ \frac{n-1}{n} $ di sbagliare,per la seconda lettera ha $ \frac{n-2}{n-1} $ e così via fino all'ultima il che ci porta a $ \frac {(n-1)!}{n!} $...sicuramente sto facendo qualche errore quindi illuminatemi su dove sbaglio XD
- Troleito br00tal
- Messaggi: 683
- Iscritto il: 16 mag 2012, 22:25
Re: Alle poste
Ma se nella prima buca mette la seconda lettera è vera quella cosa che hai scritto?
Re: Alle poste
giusto ho fatto un errore più che cretino ed ho considerato solo una parte delle combinazioni credo
Re: Alle poste
Ci provo:
Spero di non aver preso un granchio.
Per n che tende ad infinito o per un n generico non riesco ad ampliare il ragionamento, se mi date un hint tento.
Testo nascosto:
Spero di non aver preso un granchio.
Per n che tende ad infinito o per un n generico non riesco ad ampliare il ragionamento, se mi date un hint tento.
Ultima modifica di Gi. il 21 dic 2012, 15:29, modificato 4 volte in totale.
Re: Alle poste
Le vocali non sono molteGi. ha scritto:..se mi date un hint tento.
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Alle poste
Prova prima a generalizzare in una formula per un generico $n$ le cose che hai scritto per quel caso particolare !
"Se [...] non avessi amore, non sarei nulla."
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
1Cor 13:2
"[...] e se io non so pentirmi del passato, la libertà è un sogno"
Soren Kierkegaard, Aut-Aut, Ed. Mondadori, pag. 102
Re: Alle poste
Allora: Chiaramente per prima cosa ho la somma di tutte le cardinalità degli insiemi fino a N:
|P(A)|+|P(B)|+|P(C)|+|P(D)|+...+|P(N)|
come prima tolgo le intersezioni a due a due, scrivendo gli n insiemi in ordine P(A), P(B), P(C),...,P(N) si vede che il primo insieme ha n-1 intersezioni a due a due con gli altri, il secondo ne ha n-2, il terzo n-3,..., il penultimo una sola, ossia $ \frac{n!}{2!(n-2)!} $; adesso riaggiungo le intersezioni a tre a tre che ho tolto, che dovrebbero essere $ \frac{n!}{3!(n-3)!} $,..., infine aggiungo, se n è dipari, o tolgo, se n è pari, l' intersezione di tutti gli insiemi.
Quindi:
(|P(A)|+|P(B)|+|P(C)|+|P(D)|+...+|P(N)|) - [|P(N)| -[(P(A)∩P(B))+(P(A)∩P(B)+...+(P(N-1)∩P(N))}+...+ $ (-1)^{n+1} $*[|P(A)∩P(B)∩P(C)∩...∩P(N)]
Però, sempre che sia giusto, non riesco proprio a capire come possa utilizzarla per calcolare i casi favorevoli per un n generico (a meno che io non mi debba limitare a dire che le probabilità sono: $ \frac{n!-("MOSTRO-DI-SOPRA")}{n!} $)
|P(A)|+|P(B)|+|P(C)|+|P(D)|+...+|P(N)|
come prima tolgo le intersezioni a due a due, scrivendo gli n insiemi in ordine P(A), P(B), P(C),...,P(N) si vede che il primo insieme ha n-1 intersezioni a due a due con gli altri, il secondo ne ha n-2, il terzo n-3,..., il penultimo una sola, ossia $ \frac{n!}{2!(n-2)!} $; adesso riaggiungo le intersezioni a tre a tre che ho tolto, che dovrebbero essere $ \frac{n!}{3!(n-3)!} $,..., infine aggiungo, se n è dipari, o tolgo, se n è pari, l' intersezione di tutti gli insiemi.
Quindi:
(|P(A)|+|P(B)|+|P(C)|+|P(D)|+...+|P(N)|) - [|P(N)| -[(P(A)∩P(B))+(P(A)∩P(B)+...+(P(N-1)∩P(N))}+...+ $ (-1)^{n+1} $*[|P(A)∩P(B)∩P(C)∩...∩P(N)]
Però, sempre che sia giusto, non riesco proprio a capire come possa utilizzarla per calcolare i casi favorevoli per un n generico (a meno che io non mi debba limitare a dire che le probabilità sono: $ \frac{n!-("MOSTRO-DI-SOPRA")}{n!} $)
Ultima modifica di Gi. il 18 dic 2012, 21:27, modificato 3 volte in totale.
Re: Alle poste
Scrivi in forma di sommatoria la roba sopra. Poi ricordati com'è definita $e^x$..
The only goal of science is the honor of the human spirit.
Re: Alle poste
Direi, e spero di dire bene:
Indico con $ P_{i,j,k,...,n} $ gli insiemi che ho precedentemente indicato con P(A), P(B),P(C),...,P(N),
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{N}{P_{i}} -\displaystyle \sum_{1\le i\le j} {(P_{i}\cap P_{j})} +\displaystyle \sum_{1\le i\le j\le k} {(P_{i}\cap P_{j}\cap P_{k})} -...+(-1)^{n+1}\displaystyle \sum_{1\le i\le j\le k\le ...\le n} {(P_{i}\cap P_{j}\cap P_{k}\cap ...\cap P_{n})} $
Per ogni argomento della sommatoria sottintendo che prendo in considerazione la cardinalità degli insiemi.
Detto A,B,C,D,F,...,N i vari termini della somma algebrica qui sopra, stavo pensando che posso scrivere la probabilità come:
$ 1 -(\frac {A}{n!} - \frac {B}{n!} +\frac {C}{n!}-...+\frac {(-1)^{n+1}*N}{n!}) $
Quindi per n che tende ad infinito il denominatore di ogni frazione tende ad infinito e le frazioni a 0, quindi tutta l' espressione dovrebbe tendere ad 1.
Giusto
Indico con $ P_{i,j,k,...,n} $ gli insiemi che ho precedentemente indicato con P(A), P(B),P(C),...,P(N),
$ \displaystyle \sum_{i=1}^{N}{P_{i}} -\displaystyle \sum_{1\le i\le j} {(P_{i}\cap P_{j})} +\displaystyle \sum_{1\le i\le j\le k} {(P_{i}\cap P_{j}\cap P_{k})} -...+(-1)^{n+1}\displaystyle \sum_{1\le i\le j\le k\le ...\le n} {(P_{i}\cap P_{j}\cap P_{k}\cap ...\cap P_{n})} $
Per ogni argomento della sommatoria sottintendo che prendo in considerazione la cardinalità degli insiemi.
Detto A,B,C,D,F,...,N i vari termini della somma algebrica qui sopra, stavo pensando che posso scrivere la probabilità come:
$ 1 -(\frac {A}{n!} - \frac {B}{n!} +\frac {C}{n!}-...+\frac {(-1)^{n+1}*N}{n!}) $
Quindi per n che tende ad infinito il denominatore di ogni frazione tende ad infinito e le frazioni a 0, quindi tutta l' espressione dovrebbe tendere ad 1.
Giusto