XD bella.EvaristeG ha scritto:B
Ergo, il povero radicedidue non è razionale.
Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
Che debbo dire?? Siete grandi! grazie ad entrambi (Alan dammi una molteplicità e ti solleverò il mondo ) questo mi ha aerto gli orizzonti (ancora parecchio chiusi) sulla teoria insiemistica(carpisco una bella relazione che fissa i concetti tra infinità dei primi ed infinità degl irrazionali),graze anche a te Evariste ,tutto chiaro.
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
Roberto, di preciso, cosa intendi per molteplicità?
Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
arrivati qua non si può concludere dicendo che, fattorizzando in primi, a sinistra abbiamo un numero dispari ($2\beta_1+1$) di 2 e a destra uno pari ($2\alpha_1$)?EvaristeG ha scritto:Beh, per chi avesse problemi e fastidio con i coprimi, si può fare così:
Supponiamo che $\sqrt{2}=a/b$ con $a,b$ interi (chissene della coprimalità); allora, di certo possiamo scrivere
$$a=2^{\alpha_1}\cdot3^{\alpha_2}\cdot5^{\alpha_3}\cdot\ldots$$
(la fattorizzazione di $a$ in fattori primi) e
$$b=2^{\beta_1}\cdot3^{\beta_2}\cdot5^{\beta_3}\cdot\ldots$$
(la fattorizzazione di $b$ in fattori primi).
$(\star)$ Ora come prima
$$2b^2=a^2$$
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
Intendo che hanno in comune un numero(scusate se uso termini rozzi o non appropriati,prossima volta mi correggo) ex appunto 2 che non li rende più coprimi e dimostra l'assurdo,giusto?
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
Certo, ma la discesa infinita è sempre accattivantemax tre ha scritto: arrivati qua non si può concludere dicendo che, fattorizzando in primi, a sinistra abbiamo un numero dispari ($2\beta_1+1$) di 2 e a destra uno pari ($2\alpha_1$)?
Ehm, Robertopphneimer .. molteplicità vuol dire tutta un'altra cosa. Quello si chiama "fattore comune", proprio come insegnano alle medie ...
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
lasciamo perdere le medie...comunque vabè grazie
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
"$\sqrt2$ è irrazionale perché non è un residuo quadratico modulo 3" [cit.]
Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
vorrai dire "perché 2 non è un residuo quadratico modulo 3", suppongo.Troleito br00tal ha scritto:"$\sqrt2$ è irrazionale perché non è un residuo quadratico modulo 3" [cit.]
e comunque questo dimostra che $\sqrt2$ non è intero, non che è irrazionale.
[MNE]a meno che tu non voglia dire che è un intero algebrico che non è intero, quindi è irrazionale[/MNE].
e comunque quella che può sembrare una sega mentale è una linea di dimostrazione interessante (ma temo di non poter dire perché, altrimenti do troppi suggerimenti per problemi che sono aperti da qualche parte, in attesa di soluzione).
Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
Solo io credo fosse solo una battuta? :O
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
Anche io credevo fosse una battuta (tra l'altro non mia). Wow.
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
Scusa la mia supponenza nel contraddire un boss, ma sei sicuro che esistano razionali tali che il loro quadrato sia un non residuo quadratico modulo un intero?ma_go ha scritto: ...e comunque questo dimostra che $\sqrt2$ non è intero, non che è irrazionale.
In realtà ho appena dimostrato il contrario (forse):
prendo un numero razionale $\frac{a}{b}$ dove $a$ e $b$ sono interi positivi coprimi e lo analizzo modulo $n$. Ora ho due casi:
-$(b;n)$=1, allora esisterà un intero $c$ tale che $\frac{a}{b}=c(n)$, quindi $\frac{a^2}{b^2}=c^2(n)$, che è un residuo quadratico;
-$(b;n)$>1, allora anche $b^2$ non è coprimo con $n$, quindi $\frac{a^2}{b^2}=x(n)$ non ha nessuna soluzione per $x$ naturale.
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
Si può dimostrare che $n^{1/k}$ è irrazionale se esiste almeno un primo $p$ tale che $n$ è un non residuo $k$-esimo modulo $p$. (non è una battuta!)
Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
Visto che ci siamo..
Siano fissati degli interi positivi $a_1,a_2,...a_n$ a coppie coprimi e degli interi positivi $b_1,b_2,...,b_n$ tali che $a_i^{1/b_i}$ non è intero, per ogni $i$.
Mostrare che se $c_1,c_2,\ldots,c_n$ sono degli interi tali che $\sum_{i=1}^n{c_i a_i^{1/b_i}}= 0$ allora $c_1=c_2=\ldots=c_n=0$.
Siano fissati degli interi positivi $a_1,a_2,...a_n$ a coppie coprimi e degli interi positivi $b_1,b_2,...,b_n$ tali che $a_i^{1/b_i}$ non è intero, per ogni $i$.
Mostrare che se $c_1,c_2,\ldots,c_n$ sono degli interi tali che $\sum_{i=1}^n{c_i a_i^{1/b_i}}= 0$ allora $c_1=c_2=\ldots=c_n=0$.
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Re: Irrazionalità [tex]\sqrt 2[/tex]
cosa vuol dire "analizzare un numero razionale modulo un intero"?Troleito br00tal ha scritto:prendo un numero razionale $\frac{a}{b}$ dove $a$ e $b$ sono interi positivi coprimi e lo analizzo modulo $n$. Ora ho due casi:
-$(b;n)$=1, allora esisterà un intero $c$ tale che $\frac{a}{b}=c(n)$, quindi $\frac{a^2}{b^2}=c^2(n)$, che è un residuo quadratico;
-$(b;n)$>1, allora anche $b^2$ non è coprimo con $n$, quindi $\frac{a^2}{b^2}=x(n)$ non ha nessuna soluzione per $x$ naturale.
è vero che l'argomento si può girare, e torna, ma scritto così non ha senso.