Facile: Lettere dell'alfabeto!

[simone256]

Mio fratellino che è a conoscenza della mia passione per la matematica stasera mi ha posto il seguente problema:
In un testo di $ n $ lettere qual è la probabilità che vi siano più lettere successive alla lettera che occupa posto $ p $ nell'alfabeto?

[jordan]

Considerando che quasi metà delle lettere utilizzate sono in genere vocali, molto poche direi

[simone256]

Ok piccola variante... Nel villaggio di "Matelettera" tutte le lettere hanno la stessa probabilità di essere utilizzate nelle parole;
Nel villaggio di Matelettera qual è la soluzione del problema in alto?

[auron95]

Il numero di testi possibili è $26^n$
La probabilità che ci siano esattamente $k$ lettere di posto $\le p$ è $\displaystyle \frac{\binom{n}{k} p^k {(26-p)}^{n-k}}{26^n}$ (un qualche teorema che so che esiste ma non ho la più pallida idea di come si chiami)
Quindi la probabilità che ci siano più lettere successive è $\displaystyle \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac{\binom{n}{k} p^k {(26-p)}^{n-k}}{26^n}$

[Claudio.]

Il numero di testi possibili è $26^n$
La probabilità che ci siano esattamente $k$ lettere di posto $\le p$ è $\displaystyle \frac{\binom{n}{k} p^k {(26-p)}^{n-k}}{26^n}$ (un qualche teorema che so che esiste ma non ho la più pallida idea di come si chiami)
Quindi la probabilità che ci siano più lettere successive è $\displaystyle \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac{\binom{n}{k} p^k {(26-p)}^{n-k}}{26^n}$

Se ti interessa è la distribuzione binomiale

[simone256]

Ok Auron credo che sia la stessa cosa della mia che avevo posto come: $ \displaystyle \sum_{k=\lfloor n/2\rfloor +1}^{n} \frac{\binom{n}{k} p^{n-k} {(26-p)}^n}{26^n} $

Spero funzioni anche la mia

[auron95]

Penso sia la stessa a cosa, a parte un typo (un esponente a numeratore dovrebbe essere k non n)

[simone256]

Penso sia la stessa a cosa, a parte un typo (un esponente a numeratore dovrebbe essere k non n)

Sul foglio l'avevo fatto giusto... Bene ora posso dormire tranquillo, buonanotte a tutti

$ \displaystyle \sum_{k=\lfloor n/2\rfloor +1}^{n} \frac{\binom{n}{k} p^{n-k} {(26-p)}^k}{26^n} $

[auron95]

Un momento..... penso che qualcosa non quadri nella mia espressione.... forse al posto di $\lfloor n/2 \rfloor$ ci va un $\lceil n/2 \rceil -1$......

[simone256]

Un momento..... penso che qualcosa non quadri nella mia espressione.... forse al posto di $\lfloor n/2 \rfloor$ ci va un $\lceil n/2 \rceil -1$......

Hahaha! Sono tornato adesso da scuola e sono salito sul forum proprio per dirti che avevi commesso questo piccolo errore! Sai le ore di letteratura mi inducono a riflettere sulle distribuzioni binomiali

Però suppongo che la versione giusta sia: $ \displaystyle \lceil \frac{n -1}{2} \rceil $

[simone256]

Piccolo bonus...
E' possibile esprimere la probabilità

$ \displaystyle P=\sum_{k=\lfloor n/2\rfloor +1}^{n} \frac{\binom{n}{k} p^{n-k} {(26-p)}^k}{26^n} $

(O come si vuole...

$ \displaystyle P=\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor} \frac{\binom{n}{k} p^k {(26-p)}^{n-k}}{26^n} $)

in una legge che dipende solo da $ k $ e da $ p $ priva di qualsiasi sommatoria? Io qui davvero credo di non farcela...

[auron95]

Però suppongo che la versione giusta sia: $ \displaystyle \lceil \frac{n -1}{2} \rceil $

Non è equivalente a $\displaystyle \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$? Ho provato sia con n pari che con n dispari e viene lo stesso.

P.S. Per le ore di letteratura capita spesso anche a me...

[auron95]

In generale dovrebbe essere (in modo da tenere lo stesso numero di termini) $n - (\lfloor n/2 \rfloor + 1)$ che se non sbaglio è equivalente a $\lceil n/2 \rceil -1$....

[simone256]

Allora...

Se ipotizziamo $ n $ pari $ \displaystyle \lfloor \frac{n}{2} \rfloor $ sarebbe sbagliato perché considereremmo anche il caso il numero di lettere successive a quella di posto $ p $ siano uguali a quelle di posto precedente (o uguale) a $ p $...
Per esempio con $ n=4 $, $ k $ sarebbe uguale anche a $ 2 $...

Se invece ipotizziamo $ n $ dispari $ \lceil n/2 \rceil -1 $ sarebbe sbagliato perché non considereremmo il caso in cui abbiamo una lettera in più di quelle che "ci piacciono"...
Per esempio con $ n=5 $, $ k $ potrebbe valere solo $ 0 $ e $ 1 $, mentre a noi interesserebbe anche un $ 2 $!

Se ho sparato una valanga di boiate non aver paura di insultarmi... Anzi, ti chiedo pazienza perchè mi considero (e sono) solo un principiante.

[auron95]

Per esempio con n=5, k potrebbe valere solo 0 e 1, mentre a noi interesserebbe anche un 2!

Ma per $n=5$ allora $\lceil n/2 \rceil -1 = 2$, quindi consideriamo tutti i casi che ci servono.
Comunque don't worry, anch'io sono un novizio....