Domanda su serie di taylor

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ierallo
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Domanda su serie di taylor

Messaggio da ierallo » 16 nov 2012, 20:16

Supponiamo che abbia una funzione drivabile infinite volte in un su punto $ x_0 $, se non sbaglio, posso costruire la serie di taylor di questa funzione relativa nel punto $ x_0 $, potrebbe darsi che tale funzione non risulti uguale alla sua serie di taylor?
E' questo uno dei punti che non mi è per niente chiaro riguardo a questo argomento, qualcuno potrebbe darmi qualche delucidazione a riguardo?
Grazie!

amatrix92
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Re: Domanda su serie di taylor

Messaggio da amatrix92 » 16 nov 2012, 21:56

Sì, esempio classico $ \displaystyle e^{-1/{x^2}} $ nel punto $ x=0 $.

Le funzioni per cui avviene la convergenza, anzi, sono funzioni molto adorabili: Click!
Le parole non colgono il significato segreto, tutto appare un po' diverso quando lo si esprime, un po' falsato, un po' sciocco, sì, e anche questo è bene e mi piace moltissimo, anche con questo sono perfettamente d'accordo, che ciò che è tesoro e saggezza d'un uomo suoni sempre un po' sciocco alle orecchie degli altri.

ierallo
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Re: Domanda su serie di taylor

Messaggio da ierallo » 17 nov 2012, 18:12

Supponiamo di avere la seguente serie a segni alterni, $ 1 + (1/2)x -(1/2^2)x^2 +(1/2^3)x^3 - (1/2^4)x^4 +(1/2^5)x^5 -(1/2^6)x^6 +(1/2^7)x^7 -........ $ questa serie converge? ed se converge, a che cosa converge?

fph
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Re: Domanda su serie di taylor

Messaggio da fph » 17 nov 2012, 18:34

È una serie geometrica...
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

ierallo
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Re: Domanda su serie di taylor

Messaggio da ierallo » 17 nov 2012, 23:02

E quindi converge se $ x<2 $, in quanto la somma di $ n $ termini è $ (1- ((1/2)x)^n)/(1-(1/2)x) $, o mi sbaglio?
Inoltre corrisponde alla serie di taylor della funzione $ 2/(2-x) $, per caso ?

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jordan
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Re: Domanda su serie di taylor

Messaggio da jordan » 17 nov 2012, 23:51

La sommatoria che hai scritto sopra è $2-\sum_{i\in \mathbb{N}}{(x/2)^i}$, che, in "alcuni casi" converge a $2\frac{1-x}{2-x}$; in "alcuni casi" pero' non è compreso $x=-3$..
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Re: Domanda su serie di taylor

Messaggio da ierallo » 16 gen 2013, 19:43

Prendiamo ad esempio la funzione elementare $sinx$, conoscendo il valore di tale funzione e delle sue derivate successive nel punto $x=0$, posso agevolmente costruire la relativa serie di taylor, che risulterà $x-x^3/3!+x^5/5!-...$, adesso per poter asserire con certezza che tale serie coincide effettivamente con la funzione $sinx$, dovrei intanto dimostrare che é convergente per ogni valore di $x$, fatto ciò chi mi assicura che coincide con la funzione $sinx$ per ogni valore di $x$?, scusate per la banalità ma sono alle prime armi con l'argomento e lo trovo assai ostico, sarei grato se qualcuno potrebbe darmi qualche precisa delucidazione a riguardo. Grazie!

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Re: Domanda su serie di taylor

Messaggio da ndp15 » 17 gen 2013, 00:17

Ci sarebbe da chiedersi che definizione hai in testa della funzione sin(x)

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Re: Domanda su serie di taylor

Messaggio da ierallo » 17 gen 2013, 08:56

Di una funzione continua periodica che assume valori compresi tra $ 1 $ ed $ -1 $ nell'intervallo di ascissa compreso tra $ 0 $ e duepigreco, con $ sin0=0 $, $ sin(90°)=1 $, $ sin(180°)=0 $, ecc., la cui derivata è $ cosx $.

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Re: Domanda su serie di taylor

Messaggio da EvaristeG » 17 gen 2013, 16:45

L'intervento (criptico e un po' ironico) di ndp15 voleva dire questo: la definizione più comune della funzione seno è una tra le seguenti
- una certa soluzione dell'equazione differenziale $y''=-y$
- la funzione a cui converge la serie $\sum (-1)^nx^{2n+1}/(2n+1)!$.

Con la seconda definizione, vedi bene che è abbastanza ovvio che la serie di Taylor del seno converge alla funzione seno.

Comunque, in generale, le cose stanno più o meno così: hai due problemi distinti, la convergenza della serie di Taylor e la corrispondenza tra questa e la funzione originale.

Il risultato che è vero sempre è che i polinomi di Taylor approssimano la funzione: ovvero, data $f\in\mathcal{C}^\infty(I)$ dove $I$ è un intervallo aperto, per $x_o\in I$ definiamo
$$P^k_{x_0}(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\ldots+\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$$
allora
$$\lim_{x\to x_0} f(x)-P_{x_0}^k(x)=o(x^{k})\;.$$

Questo è vero per ogni funzione e ci sono forme più quantitative del resto $o(x^k)$ (Lagrange, con la derivata $k+1$-esima, oppure la forma integrale).

Poi, c'è il seguente teorema sulle serie di potenze: data $\sum a_nx^n$, questa converge uniformemente in ogni compatto del dominio $D=\{|x|<r\}$ dove
$$\frac{1}{r}=\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}\;,$$
mentre diverge per $|x|>r$.

Applicandolo al caso di una serie di Taylor, avrai che devi calcolare
$$\limsup_{n\to\infty}\frac{|f^{(n)}(0)|^{1/n}}{(n!)^{1/n}}$$
se tale numero è finito, allora esiste un intorno $|x-x_0|<r$ in cui la serie converge uniformemente sui compatti.

Ora, la convergenza della serie di Taylor non assicura che la somma sia la funzione da cui sei partito: caso estremo è la funzione $f(x)=e^{-1/x^2}$ che è $\mathcal{C}^\infty$ su $\mathbb{R}$ (estendendo lei e tutte le derivate uguali a $0$ in $x=0$) e che ha la serie nulla come serie di taylor in $x=0$; ovviamente $\sum 0x^n/n!=0$ converge uniformemente su ogni compatto, ma il limite $f(x)\equiv0$ non è la funzione da cui eravamo partiti.

Dati $f\in\mathcal{C}^\infty(I)$, $x_0\in I$ tali che $P_{x_0}^{k}(x)$ converge a $f(x)$ uniformemente in un intorno di $x_0$ per $k\to\infty$, diciamo che $f$ è analitica in $x_0$. Una funzione si dice analitica su un aperto $U$ se è analitica in ogni punto di $U$.

L'analiticità di una funzione ha sempre a che fare con quanto crescono le sue derivate, stavolta non nel punto $x_0$, ma in tutto l'aperto.

Una funzione può essere analitica su tutto $\mathbb{R}$, ma la sua serie di Taylor centrata in un punto può convergere solo su un aperto più piccolo, ad esempio $f(x)=(1+x^2)^{-1}$ è analitica su $\mathbb{R}$, ma la serie di Taylor in $0$ $\sum (-x^2)^{n}$ converge solo sui compatti di $|x|<1$.

Un ultimo esempio difficile ma interessante è il seguente:
definiamo $f(x)=\sum_{n}\cos(2^nx)/n$ (attenzione! non è una serie di potenze, questo non è uno sviluppo di taylor) e osserviamo che
1. $f$ definisce una funzione $\mathcal{C}^\infty$ su tutto $\mathbb{R}$
2. $\limsup_{n}|f^(k)(0)/k!|^{1/k}=+\infty$ quindi il raggio $r$ di cui sopra è $0$
3. $f$ è periodica con periodo $2\pi$, quindi lo stesso accade nei punti $x=k2\pi$
4. eliminando i primi $n$ termini della serie che definisce $f$, abbiamo una funzione periodica di periodi $2\pi/2^n$, quindi lo stesso andamento dei coefficienti si ha definitivamente in tutti i punti $x=k\pi/2^n$
Dunque $f$ è una funzione $\mathcal{C}^\infty$ che non è analitica in nessun punto.

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