Biseca o no?

[razorbeard]

Sia $ABC$ un traingolo rettangolo isoscele e sia $M$ il punto medio dell'ipotenusa $AB$. Siano $D$ ed $E$ punti sui cateti $AC$ e $BC$ rispettivamente,tali che $AD=2DC$, $EB=2CE$. Sia $F$ il punto di intersezione tra $AE$ e $DM$ Si dimostri che $FC$ è la bisettrice dell'angolo $\angle DFE$

[Mist]

Se $CDFE$ è ciclico, allora la tesi è valida perchè su corde congruenti insistono angoli congruenti.
$CDFE$ è ciclico se e solo se $\displaystyle \hat{DFE}=\frac{\pi}{2}$ e quindi se e solo se $\displaystyle \hat{DFA}=\frac{\pi}{2}$. Ciò equivale a dire che la tesi equivale a dire che $ADF$ è simile a $ACE$ e che quindi $\hat{ADF} = \hat{AEC}$. Essendo tali angoli per costruzione entrambi acuti, è sufficiente che $\tan{(\hat{ADF})} = \tan{(\hat{AEC})}$. Ora, sia $H$ la proiezione di $M$ su $AC$. Posto $AC=1$ e notato che per talete si ha che $\displaystyle AH =HM=DM\sin{\hat{HDM}}=DM\sin{ADF}= \frac{1}{2}$, si ha che $\displaystyle FD = DM \cos{\hat{ADF}} = AD-AH= \frac{2}{3}-\frac{1}{2} = \frac{1}{6}$. Facendo il rapporto si ottiene che $\tan{ADF} = 3$
Allo stesso modo, notato che $AE\sin{\hat{AEC}} =1$ e $AE\cos{\hat{AEC}} = 3$ si ottiene che $\tan{AEC}=3$ da cui la tesi.