Stabilire se è possibile colorare di bianco o di nero ogni casella di una tebella quadrata 2002x2002 in modo che siano soddisfatte le seguenti proprietà:
<BR>
<BR>(a) caselle simmetriche rispetto al centro della tabella hanno colori diversi;
<BR>(b) in ogni colonna e in ogni riga le caselle bianche sono esattamente la metà.
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<BR>Enjoy! <IMG SRC="images/splatt_forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Davide_Grossi il 2002-03-30 12:37 ]</font>
Ancora scacchiere...
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Davide_Grossi
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Dividiamo la scacchiera in 4 quadrati di lato 1001.
<BR>Il quadrato in alto a sinistra non puo\' avere metà delle caselle bianche perchè ne ha un numero dispari, supponiamo ne abbia il k% (k diverso da 50).
<BR>Allora il quadrato in basso a sinistra ne avrà necessariamente (100-k)% bianche perchè in ogni colonna completa ce ne deve essere 50%; questo implica che nel quadrato in alto a destra ce ne sono k% bianche perchè è simmetrico al precedente rispetto al centro.
<BR>quindi nelle prime 1001 righe c\'è il k% di caselle bianche, con k diverso da 50, e cio\' è assurdo. Il quadrato non si può costruire.
<BR>Il quadrato in alto a sinistra non puo\' avere metà delle caselle bianche perchè ne ha un numero dispari, supponiamo ne abbia il k% (k diverso da 50).
<BR>Allora il quadrato in basso a sinistra ne avrà necessariamente (100-k)% bianche perchè in ogni colonna completa ce ne deve essere 50%; questo implica che nel quadrato in alto a destra ce ne sono k% bianche perchè è simmetrico al precedente rispetto al centro.
<BR>quindi nelle prime 1001 righe c\'è il k% di caselle bianche, con k diverso da 50, e cio\' è assurdo. Il quadrato non si può costruire.
O sono io che non capisco il problema oppure c\'è qualcosa che non mi torna:
<BR>1) non basta piastrellare le caselle una bianca e una nera alternativamente per rispettare entrambe le proprietà?
<BR>2) giumazz, perché dici che nel quadrato in alto a destra ci sono k% caselle bianche? Affinché il quadrato in basso a sinistra e quello in alto a destra siano simmetrici rispetto al centro, devono avere lo stesso numero di caselle bianche , che sono (100-k)%, o no?
<BR>1) non basta piastrellare le caselle una bianca e una nera alternativamente per rispettare entrambe le proprietà?
<BR>2) giumazz, perché dici che nel quadrato in alto a destra ci sono k% caselle bianche? Affinché il quadrato in basso a sinistra e quello in alto a destra siano simmetrici rispetto al centro, devono avere lo stesso numero di caselle bianche , che sono (100-k)%, o no?
Alefig se tasselli una bianca e una nera non rispetti la simmetria rispetto al centro perchè ad esempio la casella (1001,1001) è dello stesso colore della (1002,1002) ma sono simmetriche rispetto al centro e quindi non puoi.(Numero (1,1) quella in alto a sinistra).
<BR>Metto k% per dire in generale in qualunque modo io le metta,ma k diverso da 50 perchè in un quarto di quadrato ce ne sono dispari.
<BR>
<BR>In generale la scacchiera si può fare se e solo se n, numero quadretti su un lato, è multiplo di 4.<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: giumazz il 2002-04-03 00:20 ]</font>
<BR>Metto k% per dire in generale in qualunque modo io le metta,ma k diverso da 50 perchè in un quarto di quadrato ce ne sono dispari.
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<BR>In generale la scacchiera si può fare se e solo se n, numero quadretti su un lato, è multiplo di 4.<BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: giumazz il 2002-04-03 00:20 ]</font>
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Davide_Grossi
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La soluzione postata da giumazz è corretta, compliments!
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<BR>Se coloriamo, come dice Teo, il 1° e il 3° quadrante di un colore, diciamo bianco, e il 2° e il 4° di nero, non è soddisfatta la proprietà (a); perchè questa fosse soddisfatta occorrerebbe colorare con lo stesso colore il 1°/2° e il 3°/4°, ma così salterebbe la (b).
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<BR>Bye!
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<BR>Se coloriamo, come dice Teo, il 1° e il 3° quadrante di un colore, diciamo bianco, e il 2° e il 4° di nero, non è soddisfatta la proprietà (a); perchè questa fosse soddisfatta occorrerebbe colorare con lo stesso colore il 1°/2° e il 3°/4°, ma così salterebbe la (b).
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<BR>Bye!
Davide Grossi
Devo ammettere di aver detto 1 boiata...non so perché ma ero convinto che si chiedesse che caselle simmetriche rispetto al centro avessero colori UGUALI!!!
<BR>Vabbé, capita a tutti di sbagliare, basta non farlo nelle gare ufficiali come quella di Cesenatico: io ne so qualcosa visto che, l\'anno scorso, per aver letto male il testo ho perso 2 punti e non sono andato a Cortona.
<BR>Ciao,
<BR>Alessio
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<BR>Vabbé, capita a tutti di sbagliare, basta non farlo nelle gare ufficiali come quella di Cesenatico: io ne so qualcosa visto che, l\'anno scorso, per aver letto male il testo ho perso 2 punti e non sono andato a Cortona.
<BR>Ciao,
<BR>Alessio
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