$\sum_{cyc}a^2(a-b)\ge 0$ - oliforum contest, probl 4

[jordan]

Mostrare che se $a\ge b\ge c \ge 0$ allora \[a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a) \ge 0\]

[toti96]

Allora premetto che è la prima dimostrazione che provo a fare quindi non mi esprimo benissimo,correggimi se sbaglio comunque:
partiamo col dire che viste le condizioni in ipotesi i primi due addendi sono positivi ed il terzo negativo. A questo punto possiamo anche semplicemente dimostrare che uno dei due addendi positivi ,io ho preso il maggiore a^2*b*(a-b) sia maggiore di quello negativo :
la diseguaglianza da provare è quindi :a^2*b*(a-b) >c^2*a*(c-a)
ho tolto l'uguale in quanto pur se si verificasse renderebbe vera la diseguaglianza iniziale.
qui si tratta di fare due scomposizioni supponendo a diverso da zero che renderebbe i termini uguali e otteniamo :
a*b*(a-b)>c^2*(c-a).Ora qui in realtà ciò che ci interessa sapere è la diseguaglianza tra i valori assoluti dei due termini che si trasforma in :
a*b*(a-b)>c*c*(a-c). per le condizioni poste inizialmente la diseguaglianza è banalmente vera :il valore minimo che a e b possono assumere è c e la diseguaglianza iniziale è banalmente verificata in questo caso oppure a*b >c*c in quanto prodotto di termini positivi maggiori . ci resta da mostrare a-b>a-c vera per le condizioni iniziali . Quindi il valore assoluto del primo addendo positivo è maggiore di quello dell'addendo negativo e la diseguaglianza iniziale è dimostrata.
L'argomentazione è stentata e orripilante lo so ma è la prima volta che mi avvicino a questi tipi di problemi seriamente correggetemi in tutto ciò che sbaglio

[jordan]

ci resta da mostrare a-b>a-c vera per le condizioni iniziali .

Sicuro?

Vedo che è il tuo primo messaggio al forum, benvenuto.. ci sono parecchie imprecisioni nella tua risposta, diciamo che quella di sopra e' l'unica sostaziale da correggere, te le elenco cosi' tu ci possa stare piu' attento in futuro:
- "i primi due addendi sono positivi e il terzo negativo" non è completamente corretto, perchè?
- "la diseguaglianza da provare è quindi :a^2*b*(a-b) >c^2*a*(c-a)" ammesso che la tua strada porti a una buona soluzione, ti sei dimenticato un segno.. infatti questa disuguaglianza è banale visti i segni dei due membri
- "qui si tratta di fare due scomposizioni supponendo a diverso da zero che renderebbe i termini uguali e otteniamo" non esattamente, l'uguaglianza la puoi avere anche quando a=b=c, è buona regola non toglierlo mai, a meno che non ti dà proprio fastidio..
- " la diseguaglianza tra i valori assoluti dei due termini che si trasforma in a*b*(a-b)>c*c*(a-c)" con una specie do doppio refuso sei tornato alla disuguaglianza col segno corretto
- Di solito, in disuguaglianze di questo tipo, tutti gli addendi sono necessari, difatti ti puoi costruire un controesempio con la tua strada ..

Alla prossima!

[toti96]

ok mi sono accorto adesso dell'errore idiota se non di più che ho fatto provo a portela così forse così va bene. quello che ci interessa sono i valori assoluti quindi che $ a^2*b*(a-b)+b^2*c*(b-c)>=c^2*a*(a-c) $ . io ho trasformato il secondo termine in $ c^2*a*(a-b)+c^2*a*(b-c) $. quindi ho messo in evidenza i termini tra parentesi ed esce $ (a-b)*a*(a*b-c^2)>-(b-c)*c*(b^2-a*c) $. ora la a e la c rafforzano questa disuguaglianza quindi ci interessano gli altri due termini.dopo un po' di passaggi che qui non riporto perchè consistono in moltiplicazioni e semplificazioni(supponendo b diverso da zero che rende l'uguaglianza iniziale banalmente vera ) mi esce $ a^2+c^2+b^2>=a*c+a*b+c*b $ il che si può trasformare nella forma equivalente $ (a-b-c)^2+a*b-b*c+a*c>=0 $ .ora il quadrato è sempre maggiore o uguale di 0 quindi occupiamoci degli altri tre addendi la cui somma deve essere maggiore di zero quindi $ a*b+a*c>=b*c $ che per le condizioni poste inizialmente risulta vero.

[jordan]

Ricapitoliamo cio' che dici:

$ a^2b(a-b)+b^2c(b-c)\ge c^2a(a-c) $ per ogni $a\ge b\ge c\ge 0$ se e solo se

$ a^2b(a-b)+b^2c(b-c)\ge c^2a(a-b)+c^2a(b-c) $ per ogni $a\ge b\ge c\ge 0$ se e solo se

$ a(a-b)(ab-c^2)\ge c(b-c)(ac-b^2) $ per ogni $a\ge b\ge c\ge 0$;


ora da qui come arrivi alla forma equivalente $ a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc $ per ogni $a\ge b\ge c\ge 0$?

[toti96]

allora considerando che la $ a $ e la $ c $ rafforzano questa disuguaglianza svolgo le operazioni su $ (a-b)(ab-c^2)>=(b-c)(ac-b^2) $. quindi moltiplichiamo ed eliminiamo i due termini simili$ -ac^2 $. a questo punto otteniamo (mettendo in evidenza b) $ b(a^2+b^2+c^2)>b(ab+ac+bc) $. quindi dividiamo per $ b $ supponendolo diverso da 0 e otteniamo la diseguaglianza finale

[jordan]

Ok, allora continuiamo, l'idea "rafforzare" è giusta, ma è piu' comoda dire direttamente che l'ultima disuguaglianza al mio post è vera se (non è un se e solo se, e' una condizione sufficiente):
$a(a-b)(ab-c^2) \ge c(a-b)(ac-b^2) \ge c(b-c)(ac-b^2)$ per ogni $a\ge b\ge c\ge 0$;

Dato che la prima e' sempre vera, allora e' equivalente mostrare che:
$c\left[(a-b)(ac-b^2)+(c-b)(ac-b^2) \right]\ge 0$

Abbiamo due possibilità: $c=0$, e avremo uguaglianza, altrimenti $c>0$ e dobbiamo mostrare che $(a-b)(ac-b^2)+(c-b)(ac-b^2)\ge 0$ per ogni $a\ge b\ge c\ge 0$; adesso quest'ultima è equivalente a $b((a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca))\ge 0$.

Di nuovo, abbiamo due casi, o $b=0$ per la quale abbiamo uguaglianza, oppure $b>0$ e dobbiamo mostrare che $(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)\ge 0$ (attenzione, come hai rimosso il simbolo di uguaglianza non è corretto, non consideri il caso $a=b=c$)..

Ora, un bonus: mostra che $a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$ per ogni $a,b,c$ reali positivi (i.e. togliendo il vincolo $a\ge b\ge c \ge 0$..

Ps. Puoi ottenere il >= con

Codice: Seleziona tutto

\ge

[toti96]

ok mo dopo provo a fare il bonus grazie dell'aiuto e delle risposte ..l'uguale finale non lo ho tolto davvero ho dimenticato di scriverlo XD grazie davvero dell'aiuto sono i primi passi che muovo in questo forum molto interessante

[toti96]

allora credo di riuscire a dimostrare il bonus che alla fine si riconduce a 3 casi:
$ a=b=c $ e l'uguaglianza si verifica sostituendo
$ a=b $ diverso da $ c $ che si trasforma in $ 2a^2+c^2\ge a^2+2ac $ un paio di sottrazioni ed esce $ (a-c)^2\ge 0 $ sempre vero
$ a $ diverso da $ b $ diverso da $ c $ che per simmetria possiamo trasformare in un qualsiasi ordine di grandezze disuguali tra loro per cui ci rifacciamo al caso
$ a>b>c $ che prima abbiamo analizzato e di cui prima abbiamo dimostrato la verità

[jordan]

Mi rendo conto solo ora che la domanda era banale, essendo le somme cicliche e simmetriche nel caso di tre variabili, per cui $a\ge b\ge c \ge 0$ non imponeva alcun vincolo, oltre l'essere non negativi

Ps. Comunque, una soluzione completa, finalmente

[nic.h.97]

a2b(a−b)+b2c(b−c)+c2a(c−a)≥0

i primi 2 risultati sono positivi e $ c^2a(c-a) $ è negativo.
Dunque $ (a-b)+(b-c)=c-a $
abbiamo che $ a^2b >= c^2a $ poichè $ ab>=c^2 $ poichè a e b entrambi uguali o maggiori di c.
dunque analizziamo solo i primi 2 addendi , se noi raccogliamo il piu' piccolo tra $ a-b $ e$ b-c $ avremo con a-b > b-c la seguente cosa
(b-c)(1+x) dove x è maggiore di 1. ( lo stesso al contrario supponendo$ b-c>a-b $ )
quindi avremo $ n(b-c)(a^2b+b^2c) $ dove $ n >=2 $
Dunque $ (a-b)+(b-c)=c-a $
Quindi n(b-c) = c-a
Giusta? volevo provare anch'io

Edit c-a con valore assoluto!!
sono stato un po' frettoloso : ho sbagliato $ n(b-c)(a^2b+b^2c) $ adesso corregggo un sec

[nic.h.97]

Ora mi trovo in un vicolo cieco $ ab + cd >= xv $ dove $ a>x $ ;
$ c>x $ e
$ b+d = v $
volevo procedere in questo modo ma non so come si possa verificare...

edit ( per non scrivere 2 msg) trovato! , se raccolgo $ X $ a sinistra , avro' $ X(nb + qd)>= XV $ -----> e quindi $ nb+qd>=V $ e risulta vera poichè $ n $ e $ q $ sono maggiori o uguali a 1.... Scusate per il gran uso di lettere , incomprensibile....
Comunque , ricapitolando i primi 2 addendi sono positivi mentre il terzo no , : li analizzo in modulo . Vedo che è vero quel che ho scritto sopra , ovvero $ a>=x $e $ c>=x $ e quindi è verificato

[jordan]

Ho provato a leggerlo, ma c'è una x, una X, una q e una n che non mi sembrano definite, e poi (a-b)+(b-c) non è c-a, a meno che a=c..
Potresti (ri)scriverla per bene, un passaggio alla volta?

[nic.h.97]

Cercando di riscrivere la soluzione decentemente mi sono accorto di un piccolo inaccorgimento ... ma penso di poterlo risolvere , intanto riscrivo la soluzione per bene.:
$ a^2b(a−b)+b^2c(b−c)+c^2a(c−a)≥0 $
i primi 2 addendi sono positivi , il terzo negativo . Allora li analizzo in modulo
$ a^2b(a−b)+b^2c(b−c)≥c^2a(c-a) $
ora :$ a^2b≥ c^2a $
e ( quel che mi era sfuggito prima) pensavo che $ b^2c≥ c^2a $
(Ma non è sempre vero . Intanto analizzo un attimo il caso in cui questa cosa è vera )
-------

allora se dividessi entrambi i membri per $ (c^2a) $ otterrei la seguente cosa
$ \frac{a^2b(a−b)}{c^2a}+\frac{b^2c(b-c)}{(c^2a)}≥c-a $
dunque , sfruttando il fatto che $ a^2b≥c^2a $ , e ( in alcuni casi ) $ b^2c≥ c^2a $ ( poi analizzo l'altro caso....)
avrei questo:
$ n(a-b)+q(b-c)≥ (c-a) $
dove $ n $ è $ a^2b/c^2a $ e per la disuguaglianza di prima , $ n ≥ 1 $.
E $ q $ è $ b^2c/c^2a $ e per la disuguaglianza di prima $ q≥ 1 $
----------------
Ora vedo che IN MODULO $ (a-b)+(b-c)=(c-a) $
Ovvero che $ (a-c)=(c-a) $ ----------------- $ c-a $ con valore assoluto( non trovo come farlo col valore assoluto in latex...)
e quindi questa è sicuramente vera $ n(a-b)+q(b-c)≥ (c-a) $
----
Questo è quello che intendevo , ma che avevo scritto male . Ora mi sono accorto che $ b^2c ≥ c^2a $ non è sempre vero .... ora penso a come risolverlo tenendo in tatto il procedimento di prima

[jordan]

Se ho capito bene intendi:
Dato che $a\ge b\ge c\ge 0$ allora $a^2b\ge c^2a$; ora ci sono due casi:

$\bullet$ se $b^2c \ge c^2a$ allora $\sum_{cyc}{a^2b(a-b)}$ $\ge c^2a\sum_{cyc}{(a-b)}$ $=0$

$\bullet$ se $b^2c < c^2a$ [da risolvere]



Ps. Quando hai due reali $x,y$, con $y<0<x$ e vuoi dimostrare che $x+y>0$ allora è equivalente mostrare che $x>|y|$, ma non è corretto dire "voglio mostrare che $x>y$ in modulo" (si capisce che vuoi dire, ma se puoi evitare espressioni del genere è meglio )