facile, facile (IUSS 09-10)

Numeri interi, razionali, divisibilità, equazioni diofantee, ...
Rispondi
Avatar utente
fraboz
Messaggi: 90
Iscritto il: 09 giu 2010, 21:24
Località: reggio emilia

facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da fraboz »

es.1 Trovare il più piccolo numero con 100 divisori.

es. 2 Dati due numeri primi p, q tali che q = p + 2, dimostrare che, per $ p \geq 5 $:
a) p + q e` divisibile per 6;
b) Non esistono due numeri interi m, n tali che $ m^2 + n^2 = ( p + q )^2 − 1 $.
Avatar utente
Drago96
Messaggi: 1147
Iscritto il: 14 mar 2011, 16:57
Località: Provincia di Torino
Contatta:

Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da Drago96 »

Nel primo intendi almeno 100 divisori o esattamente 100 divisori?

Il secondo è moolto facile... ;)
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
LeZ
Messaggi: 284
Iscritto il: 08 mag 2011, 21:28

Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da LeZ »

Stessa domanda mia!
Hint per il 2.
Testo nascosto:
1. Che cosa c'è tra 2 primi consecutivi?
2. Che modulo potrei utilizzare?
Avatar utente
fraboz
Messaggi: 90
Iscritto il: 09 giu 2010, 21:24
Località: reggio emilia

Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da fraboz »

@Drago96 e @Lez ho riportato pari pari il testo... secondo me intende il più piccolo numero con esattamente 100 divisori.
Robertopphneimer
Messaggi: 426
Iscritto il: 14 lug 2012, 15:43

Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da Robertopphneimer »

fraboz ha scritto:@Drago96 e @Lez ho riportato pari pari il testo... secondo me intende il più piccolo numero con esattamente 100 divisori.
Lcm? primi 100 numeri primi.
L'universo è come una sfera dove il centro è ovunque e la circonferenza da nessuna parte.
"Blaise Pascal"
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da jordan »

Robertopphneimer ha scritto:Lcm? primi 100 numeri primi.
Scherzi? :roll:
The only goal of science is the honor of the human spirit.
nic.h.97
Messaggi: 195
Iscritto il: 19 giu 2012, 19:24

Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da nic.h.97 »

2^99..?
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da jordan »

nic.h.97 ha scritto:$2^{99}$..?
No: $3^{24}\cdot 2^3$ e' già un esempio piu' piccolo
The only goal of science is the honor of the human spirit.
nic.h.97
Messaggi: 195
Iscritto il: 19 giu 2012, 19:24

Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da nic.h.97 »

l'esponente piu' piccolo(1) va al numero primo piu' grande.
Chiamo $ x $ l'esponente piu' grande che va al numero primo piu' piccolo (2) e devo trovare quanto deve valere affinchè tutte le possibili combinazioni siano uguali a 99? (poi c'è sempre l'1 )
gli esponenti partono da $ x $ che sara' assegnato al 2 , e finiscono ad 1 che andra' al numero primo piu' grande.
se avro' , ad esempio , x=3 ,allora avro' $ 2^3*3^2*5^1 $.
quindi da x ad 1 , gli esponenti diminuiscono sempre di 1 andando dal numero primo piu' piccolo al piu' grande.
----
Se abbiamo $ x=4 $
avremo come coefficienti 1 , 2 , 3 , 4 -------> le combinazioni possibili saranno date da
a) la somma di tutti i coefficienti ---> $ x(x+1)/2 $
b)$ (1*2+1*3+1*4)+(2*3+2*4)+(3*4) $
e quindi$ 1(2+3+4)+2(3+4)+3*4 $
quindi devo avere un x tale che a)+b) faccia 99

quindi lavoro sugli esponenti:


$ {x(x+1) \over 2} + 1( {x(x+1) \over 2}-1) + 2 ( {x(x+1) \over 2}-1-2) ....... + x(x-1) = 99 $

non so come si risolve questo calcolo .....
oppure prendo lo$ 0 $ che ha infiniti divisori :lol:
comunque è sbagliato il mio ragionamento?
Avatar utente
Drago96
Messaggi: 1147
Iscritto il: 14 mar 2011, 16:57
Località: Provincia di Torino
Contatta:

Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da Drago96 »

nic.h.97 ha scritto: ad esempio , x=3 ,allora avro' $ 2^3*3^2*5^1 $
Uhm, non ho ben capito cosa hai fatto, però questo numero non ha 100 divisori... :?
Però sì, direi che sei ha un tot di esponenti il più grande va al fattore più piccolo, eccetera... (per minimizzare, ovviamente)
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
nic.h.97
Messaggi: 195
Iscritto il: 19 giu 2012, 19:24

Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da nic.h.97 »

2ho scritto "se avro' , ad esempio , x=3 ,allora avro' 23∗32∗51."----> <Ad Esempio>
era per far capire cosa stavo intendendo , non ho mica detto che quel numero ha 100 divisori
Avatar utente
Drago96
Messaggi: 1147
Iscritto il: 14 mar 2011, 16:57
Località: Provincia di Torino
Contatta:

Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da Drago96 »

Ok, penso di aver capito...
Tu stai cercando una formula per il numero di divisori, giusto?
Bene, ti do un indizio: se scomponi un numero in fattori primi, avrai una cosa del tipo $p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdots p_n^{\alpha_n}$; se ora prendi un qualunque divisore e scomponi anche quello avrai qualcosa tipo $p_j^{\beta_j}\cdot p_k^{\beta_k}\cdots p_h^{\beta_h}$, con $i,j\dots ,k\in\{1,2,\dots ,n\}$, tutti distinti, e $0\le\beta_i\le\alpha_i \ \ \forall \ i : 1\le i\le n$.
Ora, in quanti modi puoi prendere $p_1$? Puoi prenderlo con esponente 0, con esponente 1,... oppure con esponente $\alpha_1$. E $p_2$? E $p_n$? E la scelta dell'esponente di un $p_i$ influenza la scelta dell'esponente di un $p_j$?
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
pexar94
Messaggi: 72
Iscritto il: 10 mag 2010, 16:02
Contatta:

Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da pexar94 »

Sarà $ 2^4*3^4*5*7 $
Avatar utente
jordan
Messaggi: 3988
Iscritto il: 02 feb 2007, 21:19
Località: Pescara
Contatta:

Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da jordan »

Bisogna trovare il piu' piccolo intero $n>0$ tale che $\sigma_0(n)=2^2\cdot 5^2$

$\bullet$ Se fosse $\omega(n)\ge 5$ allora $\sigma_0(n)$ sarebbe diviso al almeno $5$ primi (non necessariamente distinti), il che e' assurdo.

$\bullet$ Se fosse $\omega(n)=4$ allora e' chiaro che il piu' piccolo $n$ e' $n_1:=2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$

$\bullet$ Se fosse $\omega(n)=3$ allora dovremmo scegliere tre interi $\alpha \ge \beta \ge \gamma \ge 1$ tali che
\[ (\alpha+1)(\beta+1)(\gamma+1)=2^2\cdot 5^2 \]
da cui le sole possibilità $(\alpha,\beta,\gamma) \in \{(24,1,1),(9,4,1),(4,4,3)\}$. Considerato che
\[ 2^{24}\cdot 3\cdot 5 > 2^9\cdot 3^4\cdot 5 > 2^4\cdot 3^4 \cdot 5^3\]
otteniamo che il minimo $n$ sotto il vincolo $\omega(n)=3$ e' $n_2:=2^4\cdot 3^4 \cdot 5^3$

$\bullet$ Se fosse $\omega(n)=2$ allora abbiamo due sole possibilità: $2^9\cdot 3^9$ oppure $2^{24}\cdot 3^3$, da cui $n_3:=2^9\cdot 3^9$.

$\bullet$ Se fosse $\omega(n)=1$ allora $n_4:=2^{99}$.

Considerando i $5$ casi sopra, abbiamo $n_4>n_3>n_2>n_1$, per cui il piu' piccolo $n$ tale che $\sigma_0(n)=100$ e' $2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7$. []
The only goal of science is the honor of the human spirit.
nic.h.97
Messaggi: 195
Iscritto il: 19 giu 2012, 19:24

Re: facile, facile (IUSS 09-10)

Messaggio da nic.h.97 »

ok, nel caso di w(n) = 4 , dobbiamo per forza distribuire 5 , 5 , 2, 2 a ciascun numero.
e nel caso w(n)=3 , dobbiamo distribuire 5^2 e 2^2 tra 3 numeri e quindi si distingono 3 casi
5^2 , 2 , 2
5 , 5 , 2^2
5*2 , 5 , 2 ...
si ho capito grazie
Rispondi