Omogeneizzare
Omogeneizzare
Purtroppo dopo una ricerca, e dopo aver visto alcuni thread del forum che parlano di omogeneizzare non ho capito cosa significhi.. Cioè quello che dice la teoria si, ma trasformarlo in pratica mi sapete dare esempi concreti di testi di disuguaglianze che si possono risolvere omogeneizzando, semmai con dimostrazione??? Thanks
Re: Omogeneizzare
Tipo quella che hai postato tu moltipliando a sinistra per (a+b+c) portando tutto allo stesso grado come hanno scritto nell'hint.
Re: Omogeneizzare
bene e come si fa??
Re: Omogeneizzare
Se l'ha chiesto, forse non ha capitoxXStephXx ha scritto:Tipo quella che hai postato tu moltipliando a sinistra per (a+b+c) portando tutto allo stesso grado come hanno scritto nell'hint.
Una disuguaglianza si chiama omogenea quando il membro destro e il membro sinistro sono omogenei dello stesso grado.
Qui grado va inteso in senso un po' lato ... diciamo che la nostra disuguaglianza è scritta così: $f(x_1,\ldots, x_n)\geq g(x_1,\ldots, x_n)$ dove $f$ e $g$ sono due funzioni.
Intanto, una funzione $f$ si dice omogenea se esiste un numero reale $\alpha$ tale che
$$f(k\cdot x_1,\ldots, k\cdot x_n)=k^\alpha f(x_1,\ldots, x_n)$$
si dice allora omogenea di grado $\alpha$.
Ad esempio
1) la funzione $f(a,b,c)=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$ è omogenea perché $f(ka,kb,kc)=k^4f(a,b,c)$
2) la funzione $f(x,y,z,w)=xy+yw+z^2+3x^2-5w\sqrt{xy}$ è omogenea perché $f(kx,ky,kz,kw)=k^2f(x,y,z,w)$
3) la funzione $f(x,y,z)=(x+y+1)(y+z+1)(z+x+1)$ non è omogenea: se proviamo ad imporre $f(kx,ky,kz)=(k(x+y)+1)(k(y+z)+1)(k(z+x)+1)=k^\alpha(x+y+1)(y+z+1)(z+x+1)$ vediamo che, ad esempio $1=f(0,0,0)=k^\alpha f(0,0,0)=k^\alpha$ per ogni $k$, quindi $\alpha=0$, ma $3^3=f(1,1,1)=2^\alpha f(1/2,1/2,1/2)=2^{\alpha}2^3$ quindi $\alpha\neq0$. Assurdo.
In generale
Un polinomio è omogeneo di grado $\alpha$ se è formato solo da monomi di grado totale $\alpha$.
Ma l'esempio 2) fa vedere che anche cose con i radicali possono essere omogenee.
Disuguaglianze
Una disuguaglianza $f(\ldots)\geq g(\ldots)$ si dice omogenea se $f$ e $g$ sono omogenee dello stesso grado. Tutte le disuguaglianze tra le medie, la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, la disguaglianza di riarrangiamento e varie altre sono omogenee.
Quindi questi strumenti si applicano bene alle disuguaglianze omogenee, come pure il bunching (che è una sorta di medie pesate con pilota automatico).
A volte, la disuguaglianza di partenza non è omogenea, ma si può rendere tale, perché le variabili sono anche supposte essere legate da un vincolo di qualche tipo.
Ad esempio Se $abc=1$ e abbiamo una disuguaglianza tipo
$$\sum\frac{1}{a^3+b^3+1}\geq C$$
allora possiamo renderla omogenea così
$$\sum\frac{1}{a^3+b^3+abc}\geq \frac{C}{abc}$$
Oppure se abbiamo $a+b+c=1$ e una disuguaglianza tipo
$$ab+bc+ca+a+b+c\geq a^2+b^2+c^2$$
possiamo renderla omogenea così
$$ab+bc+ca+(a+b+c)^2\geq a^2+b^2+c^2$$
Ad esempio sul serio Siano $a,b,c$ positivi e tali che $abc=1$, allora
$$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}\;.$$
Il membro sinistro ha grado $-4$, mentre il membro destro ha grado $0$ (vero?). Però sappiamo che $abc=1$, quindi, ad esempio, $a^2=(bc)^{-2}$. Riscrivendo il membro sinistro possiamo notare che
$$\frac{1}{a^2(ab+ac)}+\frac{1}{b^2(ab+bc)}+\frac{1}{c^2(ac+cb)}=\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{a^2c^2}{ab+bc}+\frac{a^2b^2}{ac+cb}$$
E questa roba ha grado $2$. D'altra parte, ad esempio
$$\frac{3}{2}=\frac{3}{2}(abc)^{2/3}$$
e questa ha anche grado $2$.
Quindi, ad esempio la nostra disuguaglianza diventa
$$\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{a^2c^2}{ab+bc}+\frac{a^2b^2}{ac+cb}\geq \frac{3}{2}(abc)^{2/3}$$
Ovviamente c'erano altri modi per renderla omogenea, ma questo è promettente: a sx ci sono i doppi prodotti e a dx c'è il quadrato del prodotto ... potrebbe esserci una am-gm da qualche parte, a patto di liberarsi di un po' di denominatori. Ad esempio con Cauchy-Schwarz:
$$\left(\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{a^2c^2}{ab+bc}+\frac{a^2b^2}{ac+cb}\right)\left((ab+ac)+(bc+ba)+(ac+cb)\right)\geq (bc+ac+ab)^2$$
da cui
$$\frac{b^2c^2}{ab+ac}+\frac{a^2c^2}{ab+bc}+\frac{a^2b^2}{ac+cb}\geq\frac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2}$$
ed ora si vince per AM-GM.
Ora è chiaro?
Re: Omogeneizzare
ho un'immagine mentale piuttosto chiara di dante stuprato da shakespeare...EvaristeG ha scritto:[...] le variabili sono anche supposte essere legate [...]
Re: Omogeneizzare
ben gli sta, a quel nasone toscano ...
Re: Omogeneizzare
Ahah questo accade quando si leggono articoli in inglese troppo spessoma_go ha scritto:ho un'immagine mentale piuttosto chiara di dante stuprato da shakespeare...EvaristeG ha scritto:[...] le variabili sono anche supposte essere legate [...]
Anti-intellectualism has been a constant thread winding its way through our political and cultural life. Nurtured by the false notion that democracy means that "My ignorance is just as good as your knowledge. "
Re: Omogeneizzare
[OT] In realtà questo accade quando in una lingua c'è un modo di finire la frase che hai cominciato e nell'altra non c'è ... la pigrizia ti spinge a googletradurre il finale.[/OT]
Re: Omogeneizzare
Adesso si che e molto chiaro.. Almeno teoricamente è chiaro! Grazie mille
Re: Omogeneizzare
Ora però vogliamo la soluzione della disuguaglianza del test finale!! (non qui, in algebra)