$\mathbb{P} \subseteq f(\mathbb{Z})$

[jordan]

Sia dato un polinomio $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ tale che per ogni primo $p$ esiste un intero $n$ tale che $f(n)=p$.

Mostrare che esiste un intero $m$ tale che $f(m)=x+m$ oppure $f(x)=-x+m$ oppure $f(x)=2x+2m+1$ oppure $f(x)=-2x+2m+1$.

[Anér]

Detto in altri termini, mostrare che f ha grado 1!
Lascio qui due consigli, uno generico, l'altro mirato.

Testo nascosto:

Se un polinomio ha grado 2 o maggiore, ci si aspetta che cresca in modulo molto in fretta! Invece i numeri primi sono parecchi, quindi bisogna in qualche modo dimostrare che un polinomio di grado maggiore o uguale a 2 necessariamente salta alcuni primi.

Testo nascosto:

La verità è che la serie degli inversi dei primi diverge, mentre la serie degli inversi dei valori assoluti dei valori diversi da 0 assunti da un polinomio di grado >1 converge. Questa credo sia la strada più breve di arrivare in fondo, senza usare il teorema dei numeri primi, con cui pure si conclude abbastanza agevolmente.

[jordan]

Effettivamente e' quella la soluzione, ma visto che hai messo il testo nascosto potevi anche scriverla per bene..

[Anér]

Già l'ho fatto una volta, quando tu stesso proponesti un problema simile sul forum; ora tocca a qualcun altro!
Ho messo quei consigli proprio perché chi tra gli olimpionici non sapesse come approcciare il problema potesse risolverlo e scrivere per bene la soluzione.

[jordan]

Già l'ho fatto una volta, quando tu stesso proponesti un problema simile sul forum; ora tocca a qualcun altro!
Ho messo quei consigli proprio perché chi tra gli olimpionici non sapesse come approcciare il problema potesse risolverlo e scrivere per bene la soluzione.

Va bene, comunque molto originale il secondo pezzo Ciao!

[Anér]

In che senso "molto originale il secondo pezzo"?
Qualcuno intanto si dia da fare per il problema!

[jordan]

In che senso "molto originale il secondo pezzo"?

Che il primo pezzo da solo e' piu' che sufficiente per concludere

[Anér]

Perdonami ma continuo a non capire: quali sono i due pezzi? In che senso il primo basta e il secondo è originale?

[jordan]

Perdonami ma continuo a non capire: quali sono i due pezzi? In che senso il primo basta e il secondo è originale?

Nel senso che non e' necessario usare il fatto che $\sum_{p\in \mathbb{P}}{\frac{1}{p}}$ diverge: e' sufficiente "contare" il numero di primi $\pi(y)$ e mostrare che e' minore di $n^{\alpha}$ per qualche reale $\alpha>\frac{1}{2}$..

Ps. Sopra hai messo due testi nascosti, mi riferisco a quelli