Determinare quanto vale $$\sum_{i=1}^n T_i\cdot T_{n+1-i}$$
Dove ovviamente $T_n$ è l'$n$-esimo numero triangolare
Somma di prodotti di triangolari
Somma di prodotti di triangolari
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)
Re: Somma di prodotti di triangolari
l'ho finalmente risolto dopo tre pagine di conti (di cui due sbagliate )
praticamente scrivi i numeri triangolari come somme di interi da $1$ a $i$ o da $1$ a $n+1-i$ (definizione di numeri triangolari) ottenendo:
$\sum_{i=1}^n T_i\cdot T_{n+1-i} = \frac {1}{4} \sum_{i=1}^n i(i+1)(n+1-i)(n+2-i)$
conti conti conti conti conti...
ottieni alla fine
$\sum_{i=1}^n (i^4) -(2n+2) \sum_{i=1}^n (i^3) +(n^2+n-1)\sum_{i=1}^n (i^2)+(n^2+3n+2)\sum_{i=1}^n (i)$
conti conti conti conti...
$\displaystyle \sum_{i=1}^n T_i\cdot T_{n+1-i} = \frac {1}{120} n(n+1)(n+2)(n^2+7n+12)$
praticamente scrivi i numeri triangolari come somme di interi da $1$ a $i$ o da $1$ a $n+1-i$ (definizione di numeri triangolari) ottenendo:
$\sum_{i=1}^n T_i\cdot T_{n+1-i} = \frac {1}{4} \sum_{i=1}^n i(i+1)(n+1-i)(n+2-i)$
conti conti conti conti conti...
ottieni alla fine
$\sum_{i=1}^n (i^4) -(2n+2) \sum_{i=1}^n (i^3) +(n^2+n-1)\sum_{i=1}^n (i^2)+(n^2+3n+2)\sum_{i=1}^n (i)$
conti conti conti conti...
$\displaystyle \sum_{i=1}^n T_i\cdot T_{n+1-i} = \frac {1}{120} n(n+1)(n+2)(n^2+7n+12)$
$Q.E.D.$
Re: Somma di prodotti di triangolari
non ho controllato i tuoi conti ma il risultato è giusto...
e quell'espressione si può scrivere in modo compatto (scomponi il fattore di secondo grado e pensa al 120...) che fa venire in mente un approccio piu combinatorico...
e quell'espressione si può scrivere in modo compatto (scomponi il fattore di secondo grado e pensa al 120...) che fa venire in mente un approccio piu combinatorico...
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Re: Somma di prodotti di triangolari
è vero!Drago96 ha scritto:non ho controllato i tuoi conti ma il risultato è giusto...
e quell'espressione si può scrivere in modo compatto (scomponi il fattore di secondo grado e pensa al 120...) che fa venire in mente un approccio piu combinatorico...
$\displaystyle \binom{n+5}{5}$
$Q.E.D.$
Re: Somma di prodotti di triangolari
No, è
$\displaystyle\binom{n+4}5$
$\displaystyle\binom{n+4}5$
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- Troleito br00tal
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- Iscritto il: 16 mag 2012, 22:25
Re: Somma di prodotti di triangolari
Se proprio devo citare qualcuno, quello è Callegari...
Questo è tutto quello che so sulle fonti di questo problema (non so se qualcuno viene ancora prima, e se esiste mi scuso con questo qualcuno sperando che non se la prenda troppo): spiegato dal dottor Callegari ad (almeno) uno stage, a cui era presente Francesco Milizia, che lo ha detto a me e lo abbiamo inserito nella gara a squadre n° 2 all'Ampleforth College.
Colgo intanto l'occasione per dirvi che esiste una dimostrazione combinatorica piuttosto figa!
P.S: non so se hai notato, ma se uno propone un problema suo, lo specifica... Non è il contrario...
P.P.S: di solito i MP si leggono...
Questo è tutto quello che so sulle fonti di questo problema (non so se qualcuno viene ancora prima, e se esiste mi scuso con questo qualcuno sperando che non se la prenda troppo): spiegato dal dottor Callegari ad (almeno) uno stage, a cui era presente Francesco Milizia, che lo ha detto a me e lo abbiamo inserito nella gara a squadre n° 2 all'Ampleforth College.
Colgo intanto l'occasione per dirvi che esiste una dimostrazione combinatorica piuttosto figa!
P.S: non so se hai notato, ma se uno propone un problema suo, lo specifica... Non è il contrario...
P.P.S: di solito i MP si leggono...
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)