Sia $\displaystyle S_n=\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n (j^2+k^2)^{-\frac{1}{2}}$. Trovare una costante positiva $C$ tale che per ogni $n\ge3$ $$n\le S_n \le Cn.$$
Bonus. Trovare la più piccola costante $C$.
p.s. soltanto il bonus non è elementare
La più piccola costante tale che...
Re: La più piccola costante tale che...
Bel problema, peccato averlo visto solo adesso! Spero di non commettere un errore marchiano, ma "trovarla" non è difficile-basta considerare $\displaystyle \lim_{\ell \rightarrow \infty} \frac 1 \ell\iint _{[0, \ell]^2} \frac {dx dy}{\sqrt{x^2+y^2}}$-, la domanda è piuttosto se $C=1,76275\dots$ abbia un'espressione in termini di costanti/funzioni note!
(p.s. immediato per la prima domanda, la disuguaglianza di Hilbert fornisce direttamente $C=\pi \sqrt 2$)
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"Quello lì pubblica come un riccio!" (G.)
"Questo puoi mostrarlo o assumendo abc o assumendo GRH+BSD, vedi tu cos'è meno peggio..." (cit.)
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Re: La più piccola costante tale che...
Sì, ce l'ha, ed è anche carina<enigma> ha scritto:la domanda è piuttosto se $C=1,76275\dots$ abbia un'espressione in termini di costanti/funzioni note!
Re: La più piccola costante tale che...
E' stata una dura lotta ma alla fine ci sono riuscito... signore e signori, vi presento $2 \log (\sqrt 2+1)$!
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Re: La più piccola costante tale che...
Giusto<enigma> ha scritto:E' stata una dura lotta ma alla fine ci sono riuscito... signore e signori, vi presento $2 \log (\sqrt 2+1)$!
Però direi che dovresti scrivere un minimo di dimostrazione!