Angoli nel piano

[Robertopphneimer]

Dati quattro punti distinti nel piano dimostrare che e sempre possibile `sceglierne tre che determinino un angolo inferiore o uguale a 45.In generale dati n punti dimostrare che se ne possono scegliere 3 che determinino un angolo inferiore o uguale a 180/n.
Qualcosa mi dice che evo usare il principio della piccionaia...però non so come..al massimo riesco a partire dal fatto che se i quattro punti formano un quadrato qualsiasi triangolo ha un angolo uguale a 45° per i punti messi a caso ci sarà sempre un triangolo ottusangolo che determina la somma degli altri due acuti minori di$ 180° - \alpha $ dove $ \alpha >90° $ e perciò almeno uno minore di 45° ..se ho poligoni con numero di lati maggiori di 4 so solo che gli angoli interni sono uguali a $ n-2 $ angoli piatti dove n è il numero dei lati. Ma non so come andare avanti.

[frod93]

Ho una soluzione, ma mi manca un pezzo...

Prendo gli $n$ punti e li connetto ognuno con il successivo in modo che ogni punto sia connesso solo con altri due punti e che nessun segmento intersechi un altro segmento, cioè formando un poligono di $n$ lati (questo è il pezzo che manca da dimostrare: come faccio a dire che è sempre possibile trovare un poligono formato da quegli $n$ punti?)

Nel poligono che ho ovviamente ottengo degli angoli, la media dei quali è $\displaystyle \alpha = 180\left(1-\frac{2}{n}\right)$.

Se il poligono è regolare tutti gli angoli sono uguali a $\alpha$
Se il poligono non è regolare ci sarà per forza un angolo maggiore di $\alpha$

Prendendo il triangolo che si forma tra tre vertici consecutivi del poligono otteniamo (chiamo $\beta$ l'angolo centrale e $\gamma$ e $\delta$ gli altri due) che
$\displaystyle \beta>=180\left(1-\frac{2}{n}\right)$ (ovviamente scelgo il più grande angolo disponibile)

$\displaystyle \beta+\gamma+\delta=180$

$\displaystyle \gamma+\delta<=180-180\left(1-\frac{2}{n}\right)$

$\displaystyle \gamma+\delta<=180\left(\frac{2}{n}\right)$

$\displaystyle \frac {\gamma+\delta}{2}<=\frac{180}{n}$

Cioè la media tra gli altri due angoli è inferiore o uguale a $\displaystyle \frac{180}{n}$, cioè almeno uno dei due è inferiore o uguale a $\displaystyle \frac{180}{n}$ che è la tesi

(Ho (quasi) risolto geometria *_*)

[Robertopphneimer]

Ho una soluzione, ma mi manca un pezzo...

Prendo gli $n$ punti e li connetto ognuno con il successivo in modo che ogni punto sia connesso solo con altri due punti e che nessun segmento intersechi un altro segmento, cioè formando un poligono di $n$ lati (questo è il pezzo che manca da dimostrare: come faccio a dire che è sempre possibile trovare un poligono formato da quegli $n$ punti?)

Nel poligono che ho ovviamente ottengo degli angoli, la media dei quali è $\displaystyle \alpha = 180\left(1-\frac{2}{n}\right)$.

Se il poligono è regolare tutti gli angoli sono uguali a $\alpha$
Se il poligono non è regolare ci sarà per forza un angolo maggiore di $\alpha$

Prendendo il triangolo che si forma tra tre vertici consecutivi del poligono otteniamo (chiamo $\beta$ l'angolo centrale e $\gamma$ e $\delta$ gli altri due) che
$\displaystyle \beta>=180\left(1-\frac{2}{n}\right)$ (ovviamente scelgo il più grande angolo disponibile)

$\displaystyle \beta+\gamma+\delta=180$

$\displaystyle \gamma+\delta<=180-180\left(1-\frac{2}{n}\right)$

$\displaystyle \gamma+\delta<=180\left(\frac{2}{n}\right)$

$\displaystyle \frac {\gamma+\delta}{2}<=\frac{180}{n}$

Cioè la media tra gli altri due angoli è inferiore o uguale a $\displaystyle \frac{180}{n}$, cioè almeno uno dei due è inferiore o uguale a $\displaystyle \frac{180}{n}$ che è la tesi

(Ho (quasi) risolto geometria *_*)

grande!!! Non avevo pensato alla media che partendo dal quadrato si poteva generalizzare tranquillamente.Senti ma da dove hai tirato fuori la formula dell'angolo mdio di un poligono??

[Robertopphneimer]

[quote="frod93"](questo è il pezzo che manca da dimostrare: come faccio a dire che è sempre possibile trovare un poligono formato da quegli $n$ punti?)[\quote]

per questa forse una risposta ce l'ho io. La cosa vale per un piano con almeno 3 punti quest'almeno 3 punti determina che ci saranno almeno 3 consecutivi a cui puoi applicare la media

[frod93]

grande!!! Non avevo pensato alla media che partendo dal quadrato si poteva generalizzare tranquillamente.Senti ma da dove hai tirato fuori la formula dell'angolo mdio di un poligono??

Prendi un poligono regolare e dividilo in triangoli isosceli partendo con vertici due vertici consecutivi del poligono e il centro. Ottieni così $n$ triangoli isosceli tutti congruenti tra loro e la somma degli angoli non alla base è $360$

(fatto per tutti i lati ovviamente)

Chiamo $\alpha$ uno degli angoli del poligono che è uguale alla somma degli angoli di base del triangolo isoscele proprio perché è isoscele e $\theta$ l'angolo sul centro.

$\alpha + \theta = 180$
$\displaystyle \theta = \frac{360}{n}$

Sostituisci, fai i conti e raccogli e hai la formula.

[Robertopphneimer]

perfetto quindi delta + gamma medio(nell'esercizio) sarebbe il tuo alpha in questa dimostrazione

[frod93]

perfetto quindi delta + gamma medio(nell'esercizio) sarebbe il tuo alpha in questa dimostrazione

$\alpha$ e $\beta$ dell'esercizio sono $\alpha$ della dimostrazione

[Robertopphneimer]

perfetto quindi delta + gamma medio(nell'esercizio) sarebbe il tuo alpha in questa dimostrazione

$\alpha$ e $\beta$ dell'esercizio sono $\alpha$ della dimostrazione

sisi. Senti ma che ne dici della isposta al tuo dubbio?? nel senso invece di pensare alla convessità dei poligoni pensa in termini di triangoli....(si può fare??)

[frod93]

Mi sa che mi sono espresso male su cosa intendo dimostrare :\
"Dati $n$ punti nello spazio è sempre possibile creare un poligono che abbia questi punti come vertici senza che i lati si intersechino tra loro"

[Robertopphneimer]

Mi sa che mi sono espresso male su cosa intendo dimostrare :\
"Dati $n$ punti nello spazio è sempre possibile creare un poligono che abbia questi punti come vertici senza che i lati si intersechino tra loro"

No non ti sei espresso male è che io non riesco a dimostrarlo e quindi ho tentato un passo...elusivo xD

[Drago96]

Mi sa che mi sono espresso male su cosa intendo dimostrare :\
"Dati $n$ punti nello spazio è sempre possibile creare un poligono che abbia questi punti come vertici senza che i lati si intersechino tra loro"

intendi nel piano?
allora direi che puoi prima unire i punti "a caso", ma rispettando la condizione che ognuno sia collegato a soli altri due; poi prendi una coppia di segmenti che si intersecano e scambi i punti di arrivo: in questo modo continui a rispettare le ipotesi ma hai tolto una coppia di lati che si intersecano... e continui così finché non ci sono più lati che si intersecano...

penso che possa andare bene

[fph]

Chi ti dice che la tua procedura non crei due poligoni sconnessi invece che uno? E, già che ci siamo, come dimostri che la procedura finisce e non "va in loop"?

[Robertopphneimer]

Chi ti dice che la tua procedura non crei due poligoni sconnessi invece che uno? E, già che ci siamo, come dimostri che la procedura finisce e non "va in loop"?

Se crea due poligoni sconnessi non si può applicare sempre la soluzione di frod?? (va been per qualsiasi poligono anche per uno o più dei due sconnessi.Per il loop non so che dirti.

[fph]

Per i poligoni sconnessi hai ragione --- prendevo come enunciato da dimostrare quello "nuovo" suggerito ieri da frod.

Per il loop, grosso hint:

Testo nascosto:

considera la somma delle lunghezze dei lati...

[Robertopphneimer]

Io so che la somma delle lunghezze dei lati è costante(quindi è un invariante..e già questo mi fa comodo) Un loop che ho pensato è un'operazione che ti riporta al punto di partenza in cui tu devi rifare per forza quella "mossa" ma devo trovare un qualcosa che mi smentisca questo..(mi spiace ora non ho tempo) .