Piano cartesiano e probailità

[Robertopphneimer]

In un piano cartesiano un oggetto puntiforme parte dal punto (0;2n) (con n intero positivo) e scende fino all’asse delle ascisse compiendo 2n passi,
con la seguente regola: se prima di compiere un passo si trova nel punto di coordinate intere (k;l), puo recarsi o in ` (k -1;l -1) o in (k + 1;l-1) con
uguale probabilità. Le mosse eseguite nei diversi passi sono indipendenti. Si indichi con $ p_n(k) $ la probabilita che dopo 2n passi l’oggetto si trovi in(k;0).
i) Calcolare $ p_n(k) $

Vi posto questo perché con la combinatoria devo ancora ingranare e gli esercizi fanno sicuramente bene.
innanzitutto suppongo che sull'asse verticale non devo calcolare probabilità (il punto scende sempre --> l-1)
su quello orizzontale ho un problema...come calcolo la probabilità che scendendo di k+1 o k-1 raggiunga l'asse delle ordinate?

[ma_go]

ho cancellato il doppione di questo thread. inoltre, fare copia-e-incolla da un pdf ha effetti disastrosi: almeno prenditi la briga di sistemare le formule/gli accenti/le cose incomprensibili...

[Robertopphneimer]

oddio scusa non avevo visto la mostruosità uscita fuori....comunque il problema era proprio lo "strisciare a guisa"...perché può fare due cose questo quadrato ruotare e traslare no??

[auron95]

Se ho capito bene vuoi che l'oggetto cada sull'asse x esattamente in un punto di ascissa $ k $.

I percorsi totali sono $ 2^{2n} $, quelli buoni sono quelli all'interno di un rettangolo con lati inclinati di 45° e due vertici opposti in $ (k;0) $ e $ (0;2n) $
Siccome la "griglia" su cui si sposta l'oggetto è inclinata, ogni passo sarà di $ \sqrt{2} $

Basta calcolare i lati del rettangolo e poi ti trovi a risolvere un problema mooooolto più semplice di quello della pulce sul cubo....

[Robertopphneimer]

si ma il fatto è che non sono finiti i lati del rettangolo ma dipendono da 2n

[auron95]

Diciamo che i lati sono lunghi $ \sqrt{2}a \mbox{ e } \sqrt{2}b $.
$ a+b=2n $ (l'altezza totale)
$ a-b=k $ (a passi a destra e b a sinistra)

$ \displaystyle a=\frac{2n+k}{2} \qquad b=\frac{2n-k}{2} $

Le combinazioni sono $ \displaystyle \binom{a+b}{a} $ basta sostituire......

[Robertopphneimer]

Cavolo era molto più semplice di quanto potessi pensare....comunque non capisco come hai fatto a capire che le combinazioni totali erano disposizioni con ripetizione con base 2 e esponente 2n....Per il resto va tutto bene.
Una cosa: no si potevano scrivere le combinazioni come $ \binom{a+b}{b} $ sarebbe stata una così detta condizione WLOG??Oppure sarebbe cambiato qualcosa?

[auron95]

non capisco come hai fatto a capire che le combinazioni totali erano disposizioni con ripetizione con base 2 e esponente 2n

Dovrò fare esattamente $ 2n $ passi, ogni passo ho 2 possibilità...

no si potevano scrivere le combinazioni come $ \binom{a+b}{b} $ sarebbe stata una così detta condizione WLOG??

Puoi scrivere entrambi tanto $ \displaystyle \binom{a+b}{a}=\binom{a+b}{b} $

[Robertopphneimer]

tutto chiaro grazie mille...tanto alla fine con le probabilità non è difficile...basta prenderci un pò la mano e studiare un pò di teoria degli insiemi..
Tipoio per capire $ 2^(2n) $penso agli eventi ci sono n eventi dove il totale della possibilità che questi accadano è il prodotto di essei quindi è $ 2*2*2...=2^(2n) $ per le combinazioni ci vuole qualcosa in più

[Robertopphneimer]

la seconda parte del quesito chiedeva:

mostrare che $ 2p_n(2) \ge \frac{1}{2n+1} $

io ho pensato a sviluppare le combinazioni ed a sostituire a k 2 e poi provare per induzione... ma sembra ostica come dimostrazione ma io la posto lo stesso.
allora :

$ P(2)= \frac{2n!}{(n+1)!(n-1)!}=\frac{2(n)}{n!(n+1)} $
sostituiamo:
$ 2p_n(2) \ge \frac{1}{2n+1} $ perciò :$ 2(\frac{2(n)}{n!(n+1)}) \ge \frac{1}{2n+1} $ però qualcosa non quadra..non trovo il numero n che vale per la disuguaglianza.

[auron95]

P(2)= $\frac{2n!}{(n+1)!(n-1)!}=\frac{2(n)}{n!(n+1)}$

Occhio che se non ho visto male non è 2(n!) ma (2n)!

[Robertopphneimer]

P(2)= $\frac{2n!}{(n+1)!(n-1)!}=\frac{2(n)}{n!(n+1)}$

Occhio che se non ho visto male non è 2(n!) ma (2n)!

ne sei sicuro?? Quello è il risultato finale e n! l'avevo dapprima semplificato quindi al massimo è 2!(che è 2 ).Penso di farcela per induzione ora vediamo
ps: chi si rivede!!

[Robertopphneimer]

anhe perché con il tuo caso viene n frazionario e negativo...e loro lo intendono come intero positivo