54. Staffetta disuguaglianze

[Robertopphneimer]

devi mettere "\displaystyle " all'inizio
ossia...
$ [tex] $\displaystyle o $\displaystyle...

ok va bene resta il fatto che la soluzione ed il metodo di tutto ciò sono a me sconosciuti(a parte le medie),che me ne faccio della trigonometria qui?

[Robertopphneimer]

c'è nessuno?? non so dove mettere le mani :S

[ant.py]

Beh, petroliog, metti la soluzione o tu o Jordan...

[jordan]

La staffetta si è fermata qui?

[jordan]

[Editato]

Un'altra dimostrazione della disuguaglianza di sinistra:

Dato che $\displaystyle \cos^2(\alpha_i) =\frac{1}{1+\sqrt{\tan^4(\alpha_i)}}$ e che la funzione $f(x):=\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{x}}$ verifica
\[ \frac{\delta f}{\delta x}(x)= -\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}<0\text{ per ogni }x >0 \]
e
\[ \frac{\delta^2f}{\delta x^2}(x)=\frac{\frac{3}{2}\sqrt{x}+2+\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\left(x\sqrt{x}+2x+\sqrt{x}\right)^2}>0\text{ per ogni } x>0\]
allora, fissato $n$ e $\sum_{1\le i\le n}{\tan^4(\alpha_i)}:=k$ abbiamo
\[ \sum_{1\le i\le n}{f\left(\tan^4(\alpha_i)\right)} \ge nf\left(\frac{k}{n}\right) \]
Imposto $n=10, k=4$, otteniamo
\[ \sum_{1\le i\le 10}{f\left(\tan^4(\alpha_i)\right)}\ge 10f\left(\frac{2}{5}\right)=\frac{50}{3}\left(1-\sqrt{\frac{2}{5}}\right) \] []

[Ido Bovski]

Mi sbaglio o quella che tu definisci $f(x)$ non è concava? Per provare la convessità/concavità bisogna fare la derivata seconda

[jordan]

Ops

In effetti
\[ \frac{\delta^2f}{\delta x^2}(x)>0\text{ per ogni } x>0\]

La disuglianza si capovolge, cosicchè $f(x) \ge \frac{50}{3}\left(1-\sqrt{\frac{2}{5}}\right)$ che puo' essere riscritto come $\frac{50}{5+\sqrt{10}}$..

[jordan]

Ringrazio jordan per avermi concesso il testimone

Se $\displaystyle a_1,a_2,...,a_{10}>0$, $\displaystyle a^{2}_1+a^{2}_2+...+a^{2}_{10}=4$, dimostrare :

$\displaystyle \frac{50}{5+\sqrt{10}} \le \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{1+a_k}\le \frac{28}{3}$

La disuguaglianza di sinistra l'ho risolta già due volte; riguardo quella di destra, dal momento che $a_i \in (0,2)$ per ogni $i=1,2,\ldots,10$ allora $a_i(a_i-2) <0$. In particolare, dato che $a_i>0$ allora vale anche
\[ a_i(a_i-2)(a_i+3)<0 \text{ se e solo se }\frac{1}{1+a_i}<1-\frac{a_i^2}{6} \]
Sommando su $i$ abbiamo la tesi. []