54. Staffetta disuguaglianze
- petroliopg
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54. Staffetta disuguaglianze
Ringrazio jordan per avermi concesso il testimone
Se $\displaystyle a_1,a_2,...,a_{10}>0$, $\displaystyle a^{2}_1+a^{2}_2+...+a^{2}_{10}=4$, dimostrare :
$\displaystyle \frac{50}{5+\sqrt{10}} \le \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{1+a_k}\le \frac{28}{3}$
Se $\displaystyle a_1,a_2,...,a_{10}>0$, $\displaystyle a^{2}_1+a^{2}_2+...+a^{2}_{10}=4$, dimostrare :
$\displaystyle \frac{50}{5+\sqrt{10}} \le \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{1+a_k}\le \frac{28}{3}$
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Re: 54. Staffetta disuguaglianze
ma guarda basta che alla sommatoria sostituisci (Edit $ \frac{(a_{10})^2 +(a_{10})} {2} $ e poi si risolve tutto anche se a me non viene l'uguale ma solo il maggiore...
Ultima modifica di Robertopphneimer il 07 ago 2012, 18:38, modificato 2 volte in totale.
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Re: 54. Staffetta disuguaglianze
Robertopphneimer ha scritto:ma guarda basta che alla sommatoria sostituisci $ \frac{a_10^2 +a_10} {2} $ e poi si risolve tutto anche se a me non viene l'uguale ma solo il maggiore...
In che modo si risolve?
Io per ora ne ho fatto solo metà..
Allora sappiamo che $ Qm (a_1, a_2, \dots, a_{10}) = \frac{\sqrt{10}}{5} $
Quindi il massimo per $ a_1 + a_2 + \dots + a_{10} = Qm \cdot n = \frac{\sqrt{10}}{5} \cdot 10 = 2\sqrt{10} $ (questa è Am-Qm)
Ora sappiamo che $ A \ge H $; se la applichiamo ai numeri $ a_1 + 1, a_2 + 1 $ ecc abbiamo
$ (a_1 + a_2 + \dots + a_{10} + 10)(\frac{1}{1+a_1} + \dots + \frac{1}{1+a_{10}}) \ge 100 $ , ovvero
$ \frac{1}{1+a_1} + \dots + \frac{1}{1+a_{10}} \ge \frac{100}{a_1 + a_2 + \dots + a_{10} + 10} $ per quanto abbiamo detto prima il massimo del RHS è $ \frac{100}{2\sqrt{10}+ 10} = \frac{50}{\sqrt{10} + 5} $ e la prima disuguaglianza è dimostrata.. Ora vedo la seconda
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Re: 54. Staffetta disuguaglianze
nono ho sbagliato....ho tentato di fare una cosa con la sommatoria ma misà è a livello IMO quindi meglio le grandi vecchie medie
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Re: 54. Staffetta disuguaglianze
mmmh...ora tocca alla seconda..sembra una media mascherata..
Sempre con $ H \le A $
$ \frac {1}{1+a_1}+\frac {1}{1+a_2}+\frac {1}{1+a_3}+.....+\frac {1}{1+a_{10}} \le 4\sqrt 10 < \frac {28}{3} $
mancherebbe l'uguale...
Edit:piccolo sbaglio nella radice.
Sempre con $ H \le A $
$ \frac {1}{1+a_1}+\frac {1}{1+a_2}+\frac {1}{1+a_3}+.....+\frac {1}{1+a_{10}} \le 4\sqrt 10 < \frac {28}{3} $
mancherebbe l'uguale...
Edit:piccolo sbaglio nella radice.
Ultima modifica di Robertopphneimer il 08 ago 2012, 01:19, modificato 2 volte in totale.
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Re: 54. Staffetta disuguaglianze
Robertopphneimer ha scritto:mmmh...ora tocca alla seconda..sembra una media mascherata..
Sempre con $ H \le A $
$ \frac {1}{1+a_1}+\frac {1}{1+a_2}+\frac {1}{1+a_3}+.....+\frac {1}{1+a_{10}} \le \sqrt 10 < \frac {28}{3} $
mancherebbe l'uguale...
Non capisco da dove hai preso questa disuguaglianza
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Re: 54. Staffetta disuguaglianze
Mi spieghi come hai trovato il 100??non riesco a capire..io ho provato ad applicare la QM ad a+1 e prenderla massima con AM-QM...e poi a fare AM-HM ma non mi viene..cioè viene diverso dal tuo e perciò non corretto.
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Re: 54. Staffetta disuguaglianze
Se hai
$ A \ge H \Rightarrow \frac{A}{H} \ge 1 \Rightarrow \frac{a_1 + \dots + a_n }{n} \cdot \frac{\frac{1}{a_1} + \dots + \frac{1}{a_n}}{n} \ge 1 $ ovvero $ (a_1 + \dots + a_n )(\frac{1}{a_1} + \dots + \frac{1}{a_n}) \ge n^2 $
Per la seconda parte sono quasi sicuro che la dimostrazione sia cannata, cmq la posto:
La disuguaglianza data è equivalente a
$ \frac{a_1}{a_1+1} + \dots + \frac{a_{10}}{a_{10}+1} \ge \frac{2}{3} $ (basta moltiplicare per -1 e sommare 10)
Ora applichiamo ancora $ A \ge H $, stavolta con i numeri $ \frac{1+a_1}{a_1} $ ecc.
Troviamo che
$ \frac{a_1}{a_1+1} + \dots + \frac{a_{10}}{a_{10}+1} \ge \frac{10}{A} $
Il massimo di A si ottiene quando i vari $ \frac{1+a_k}{a_k} = 1 + \frac{1}{a_k} $ sono tutti uguali fra loro, ovvero $ a_1 = a_2 $ ecc.
In questo caso si ha $ a_1 = a_2 = \dots = a_{10} = \frac{\sqrt{10}}{5} $ e la media $ A = \frac{1+a_k}{a_k} = \frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{2 + \sqrt{10}}{2} $ e quindi
$ \frac{a_1}{a_1+1} + \dots + \frac{a_{10}}{a_{10}+1} \ge \frac{10}{A} \ge \frac{20}{2 + \sqrt{10}} > \frac{2}{3} $
Sono un po' perplesso perche il bound trovato mi sembra troppo distante da quello proposto, e sopratutto perche non sono certo di poter usare le proprieta di A in quel modo.. Cmq mi affido ai vostri pareri critici
$ A \ge H \Rightarrow \frac{A}{H} \ge 1 \Rightarrow \frac{a_1 + \dots + a_n }{n} \cdot \frac{\frac{1}{a_1} + \dots + \frac{1}{a_n}}{n} \ge 1 $ ovvero $ (a_1 + \dots + a_n )(\frac{1}{a_1} + \dots + \frac{1}{a_n}) \ge n^2 $
Per la seconda parte sono quasi sicuro che la dimostrazione sia cannata, cmq la posto:
La disuguaglianza data è equivalente a
$ \frac{a_1}{a_1+1} + \dots + \frac{a_{10}}{a_{10}+1} \ge \frac{2}{3} $ (basta moltiplicare per -1 e sommare 10)
Ora applichiamo ancora $ A \ge H $, stavolta con i numeri $ \frac{1+a_1}{a_1} $ ecc.
Troviamo che
$ \frac{a_1}{a_1+1} + \dots + \frac{a_{10}}{a_{10}+1} \ge \frac{10}{A} $
Il massimo di A si ottiene quando i vari $ \frac{1+a_k}{a_k} = 1 + \frac{1}{a_k} $ sono tutti uguali fra loro, ovvero $ a_1 = a_2 $ ecc.
In questo caso si ha $ a_1 = a_2 = \dots = a_{10} = \frac{\sqrt{10}}{5} $ e la media $ A = \frac{1+a_k}{a_k} = \frac{5 + \sqrt{10}}{\sqrt{10}} = \frac{2 + \sqrt{10}}{2} $ e quindi
$ \frac{a_1}{a_1+1} + \dots + \frac{a_{10}}{a_{10}+1} \ge \frac{10}{A} \ge \frac{20}{2 + \sqrt{10}} > \frac{2}{3} $
Sono un po' perplesso perche il bound trovato mi sembra troppo distante da quello proposto, e sopratutto perche non sono certo di poter usare le proprieta di A in quel modo.. Cmq mi affido ai vostri pareri critici
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Re: 54. Staffetta disuguaglianze
Moltiplicando ambo i membri per -1 e sommando poi 10:ant.py ha scritto: $\displaystyle \frac{a_1}{a_1+1} + \dots + \frac{a_{10}}{a_{10}+1} \ge \frac{20}{2 + \sqrt{10}}$
$\displaystyle \sum_{i=1}^{10}{\frac{1}{1+a_i}} \le \frac{-20 + 10(2+\sqrt{10})}{2+\sqrt{10}}= \frac {50}{5+\sqrt{10}}$
c'è qualcosa dunque che non quadra come tu vedi...
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Re: 54. Staffetta disuguaglianze
Per la disuguaglianza di sinistra e' sufficiente HM-AM-QM, in particolare:
$\displaystyle \frac{n}{\sum_i{1+a_i^{-1}}}\le \frac{\sum_i{(1+a_i)}}{n}=1+\frac{\sum_i{a_i}}{n} \le 1+\sqrt{\frac{\sum_i{a_i^2}}{n}}$
Per la disuguaglianza di destra, definiamo $\alpha_i \in (0,\pi)$ tale che $a_i=\tan^2(\alpha_i)$ di modo tale che:
l'ipotesi diventa $\sum_i{\tan^4(\alpha_i)}=4$ e la tesi $\sum_i{\cos^2(\alpha_i)}\le \frac{28}{3}$.
... ora?
$\displaystyle \frac{n}{\sum_i{1+a_i^{-1}}}\le \frac{\sum_i{(1+a_i)}}{n}=1+\frac{\sum_i{a_i}}{n} \le 1+\sqrt{\frac{\sum_i{a_i^2}}{n}}$
Per la disuguaglianza di destra, definiamo $\alpha_i \in (0,\pi)$ tale che $a_i=\tan^2(\alpha_i)$ di modo tale che:
l'ipotesi diventa $\sum_i{\tan^4(\alpha_i)}=4$ e la tesi $\sum_i{\cos^2(\alpha_i)}\le \frac{28}{3}$.
... ora?
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Re: 54. Staffetta disuguaglianze
la hint di jordan porta ad un passo dalla conclusione del problema...
ps. una sostituzione trigonometrica può far comodo in un'altra disequazione che ho postato
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Re: 54. Staffetta disuguaglianze
Ho provato a sviluppare dall'hint di jordan ma sarà per mia stupidità ma non riesco a fare molto. Il massimo che sono riuscito a fare è:petroliopg ha scritto:la hint di jordan porta ad un passo dalla conclusione del problema...
ps. una sostituzione trigonometrica può far comodo in un'altra disequazione che ho postato
$ \frac {\sum_{i} a_i} {4 \sum_{i} cos^2( \alpha_i)} \le \frac{28}{3} $.
se sommo a destra ed a sinistra 1 dovrebbe venire :
$ \frac {\sum_{i} a_i+1} { \sum_{i} cos^2( \alpha_i)} \le \frac{(4*28)+3}{3} $.
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Re: 54. Staffetta disuguaglianze
emh, guarda che $ \displaystyle \sum_{i} \frac {1}{1+a_i}= \sum_{i} cos^2( \alpha_i) $ ...Robertopphneimer ha scritto: $ \frac {\sum_{i} a_i} {4 \sum_{i} cos^2( \alpha_i)} \le \frac{28}{3} $.
basta che sostituisci in LHS $\displaystyle tg^2{\alpha}$ ed esce fuori la RHS...
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Re: 54. Staffetta disuguaglianze
mmmh...non l'avevo notato lol
Edit : arrivo sempre ad un punto e mi fermo...non so come proseguire(non avrò metodo??)
arrivo fino a :
$ \frac {\sum_{i}1-cos^2(\alpha_i)} {4} \le \frac {28} {3} $
Edit: ps: come scrivo le formule in modo più grande??
Edit : arrivo sempre ad un punto e mi fermo...non so come proseguire(non avrò metodo??)
arrivo fino a :
$ \frac {\sum_{i}1-cos^2(\alpha_i)} {4} \le \frac {28} {3} $
Edit: ps: come scrivo le formule in modo più grande??
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Re: 54. Staffetta disuguaglianze
devi mettere "\displaystyle " all'inizio
ossia...
$ [tex] $\displaystyle o $\displaystyle...
ossia...
$ [tex] $\displaystyle o $\displaystyle...
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